[论文解读] A new separation theorem with geometric applications

Farhad Shahrokhi|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于度量函数和基于团覆盖的新长度参数的新型图组合分离定理，使NP难的几何问题能够实现亚指数时间算法。关键结果表明，若一个顶点分离集覆盖 $ O(2^p l^{* (p-1)/p} u(G)^{(p-1)/p}) $ 个团，则每个连通分量的度量值至多为 $ 2\mu(G)/3 $，从而为最大独立集、最小单位圆盘覆盖和击中问题在几何图上提供了更优的算法。

ABSTRACT

Let $G=(V(G), E(G))$ be an undirected graph with a measure function $μ$ assigning non-negative values to subgraphs $H$ so that $μ(H)$ does not exceed the clique cover number of $H$. When $μ$ satisfies some additional natural conditions, we study the problem of separating $G$ into two subgraphs, each with a measure of at most $2μ(G)/3$ by removing a set of vertices that can be covered with a small number of cliques $G$. When $E(G)=E(G_1)\cap E(G_2)$, where $G_1=(V(G_1),E(G_1))$ is a graph with $V(G_1)=V(G)$, and $G_2=(V(G_2), E(G_2))$ is a chordal graph with $V(G_2)=V(G)$, we prove that there is a separator $S$ that can be covered with $O(\sqrt{lμ(G)})$ cliques in $G$, where $l=l(G,G_1)$ is a parameter similar to the bandwidth, which arises from the linear orderings of cliques covers in $G_1$. The results and the methods are then used to obtain exact and approximate algorithms which significantly improve some of the past results for several well known NP-hard geometric problems. In addition, the methods involve introducing new concepts and hence may be of an independent interest.

研究动机与目标

• 为满足次可加性和单调性的度量函数的图开发一个通用的分离定理。
• 基于辅助图中的有序团覆盖，定义一个新的长度参数 $ l(G, H) $，以捕捉结构稀疏性。
• 将分离定理应用于推导NP难几何问题（如独立集和单位圆盘覆盖）的更快算法。
• 通过新分离框架改进现有PTAS和精确算法在几何问题上的时间与空间复杂度。

提出的方法

• 在子图上定义满足单调性、次可加性和在不连通分量上模ularity的度量函数 $ \mu $。
• 将长度参数 $ l(G, H) $ 定义为所有有序团覆盖中的最小值，用于度量图 $ G $ 中边端点所在团之间的距离。
• 证明：若 $ G $ 是 $ p-1 $ 个图 $ G_i $ 与一个弦图 $ G_p $ 的交集，则存在一个分离集，其覆盖的团数为 $ O(2^p l^{* (p-1)/p} \mu(G)^{(p-1)/p}) $。
• 利用弦图的结构和完美消除树寻找团分离集，或在团覆盖较大时利用长度性质。
• 通过将 $ \mu(F) $ 定义为子图上受限于团的圆或矩形覆盖大小，将定理应用于几何问题。
• 利用可行解可被限制在小候选集 $ \mathcal{C} $ 内的事实，从而支持高效的动态规划。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有度量函数的图独立于几何嵌入形式化一个通用的分离定理？
• RQ2 新长度参数 $ l(G, H) $ 与带宽、树宽等已知图参数有何关系？
• RQ3 该分离框架能否为NP难几何问题提供亚指数时间算法？
• RQ4 该方法在多大程度上改进了现有PTAS和精确算法在独立集与覆盖问题上的复杂度？
• RQ5 长度参数与区间序的维数之间存在何种联系？

主要发现

• 存在一个分离集，可将任意图 $ G $ 分成两个子图，每个子图的度量值至多为 $ 2\mu(G)/3 $，且该分离集诱导的子图可被 $ O(2^p l^{* (p-1)/p} \mu(G)^{(p-1)/p}) $ 个团覆盖。
• 对于单位高度矩形，最大独立集可在 $ |V(G)|^{O(\sqrt{\alpha(G)})} $ 时间内计算，优于先前的界。
• 单位高度矩形上最大独立集的PTAS在 $ |V(G)|^{O(1/\epsilon)} $ 时间内运行，且仅需 $ O(|V(G)|^2) $ 存储空间，显著优于以往的 $ |V(G)|^{O(1/\epsilon)} $ 存储需求。
• 对于单位圆盘覆盖问题，首个亚指数时间精确算法可在 $ n^{O(\sqrt{\text{opt}(P)})} $ 时间和 $ O(n^2) $ 存储空间内运行。
• 单位圆盘覆盖的PTAS在 $ n^{O(1/\epsilon)} $ 时间内运行，相比以往的 $ n^{O(1/\epsilon^2)} $ 复杂度有显著改进。
• 长度参数 $ l(G, G) $ 与区间序的维数相关：若 $ l(G, G) = 1 $，则 $ G $ 是不可比图；对于区间图，有 $ \dim(\prec) \leq l(G, G) + 2 $。