[论文解读] A new topology on the space of unbounded selfadjoint operators and the spectral flow

Charlotte Wahl|ArXiv.org|Jul 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在可分希尔伯特空间上无界自伴算子的空间上引入了一种新的、较弱的拓扑，该拓扑由预解式在强算子拓扑下的连续性以及特定类平滑函数演算映射的连续性所定义。文章证明，在此拓扑下，自伴弗雷德霍姆算子的空间代表函子 $K^1$，而一般弗雷德霍姆算子的空间代表 $K^0$，同时将谱流推广至该拓扑，并通过酉路径将其与绕数联系起来。

ABSTRACT

We define a new topology, weaker than the gap topology, on the space of selfadjoint unbounded operators on a separable Hilbert space. We show that the subspace of selfadjoint Fredholm operators represents the functor $K^1$ from the category of compact spaces to the category of abelian groups and prove a similar result for $K^0$. We define the spectral flow of a continuous path of selfadjoint Fredholm operators generalizing the approach of Booss-Bavnek--Lesch--Phillips.

研究动机与目标

• 定义一种新的、较弱的拓扑，作用于无界自伴算子空间，使其更适用于涉及非紧流形的几何应用。
• 证明在此新拓扑下，自伴弗雷德霍姆算子的空间代表函子 $K^1$。
• 证明在此新拓扑下，一般弗雷德霍姆算子的空间在子空间拓扑下代表函子 $K^0$。
• 定义并研究在此新拓扑下连续路径的谱流，推广博斯-巴文克–莱施–菲利普斯的方法。
• 将谱流与关联酉路径的绕数联系起来，利用经典泛函分析恢复非交换 $K$-理论中的结果。

提出的方法

• 通过要求预解式 $(D_t \pm i)^{-1}$ 沿 $t$ 在强算子拓扑下连续，且 $\phi(D_t)$ 对某个满足 $\phi' > 0$ 在 $(-\varepsilon,0)$ 上的偶函数 $\phi \in C_c^\infty(\mathbb{R})$ 连续，来定义新拓扑。
• 证明该拓扑严格弱于间隙拓扑，但仍保持关键性质，如酉共轭下的连续性与有界变换的连续性。
• 利用自伴算子的函数演算，将 $\phi(D_t)$ 的连续性与预解式及谱投影的强连续性联系起来。
• 通过与 $\chi(D_t)$ 关联的谱投影的指标来定义 $\mathfrak{SF}(H)$ 中连续路径 $(D_t)_{t \in [0,1]}$ 的谱流，其中 $\chi$ 为归一化函数。
• 建立谱流的同伦不变性结果，并通过映射 $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ 将其与绕数联系起来。
• 利用同伦群同构 $\pi_1(\mathcal{U}_K(H)) \cong \mathbb{Z}$，证明谱流等于关联酉路径在 $\mathcal{U}_K(H)$ 中的绕数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的、较弱的无界自伴算子拓扑，使得自伴弗雷德霍姆算子的空间代表 $K^1$？
• RQ2 该新拓扑是否保持酉共轭与有界变换下的连续性，而间隙拓扑则不能？
• RQ3 谱流能否推广至在此新拓扑下连续的路径？当端点可逆时，其是否与经典定义一致？
• RQ4 在此拓扑下连续路径的谱流是否等于关联酉路径的绕数？
• RQ5 能否仅使用希尔伯特空间上的经典泛函分析，恢复非交换 $K$-理论中的结果（例如通过希尔伯特 $C^*$-模的谱流）？

主要发现

• 该新拓扑严格弱于间隙拓扑，但确保连续路径的有界变换仍保持连续。
• 在此拓扑下，自伴弗雷德霍姆算子的空间代表从紧空间到阿贝尔群的函子 $K^1$。
• 在此子空间拓扑下，一般弗雷德霍姆算子的空间代表函子 $K^0$。
• 在此拓扑下，自伴弗雷德霍姆算子连续路径的谱流是良定义的，且与希尔伯特空间情形下的非交换谱流一致。
• 对于端点可逆的连续路径，谱流等于路径 $t \mapsto e^{\pi i(\chi(D_t) + 1)}$ 在 $\mathcal{U}_K(H)$ 中的绕数。
• 谱流在同伦与酉共轭下保持不变，即使路径闭合（$D_0 = D_1$）时结论仍成立，只要存在归一化函数。