[论文解读] A new tractable combinatorial decomposition

Binh-Minh Bui-Xuan, Michel Habib+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 52被引用 3

一句话总结

本文提出 umodules，一种新颖的组合分解框架，其推广了图模块和双联结（bi-joins），可实现同质关系（包括无向图和竞赛图）的多项式时间分解。该框架在满足自然公理的结构上建立了唯一的分解树，为图和竞赛图提供了线性时间算法，并统一了 cograph 与环形竞赛图理论，提出了新的刻画方式与高效算法。

ABSTRACT

This paper introduces the umodules, a generalisation of the notion of module in graph theory. The structure to be decomposed, so-called homogeneous relation, captures among other undirected graphs, tournaments, digraphs, and 2-structures. Our resulting decomposition scheme when restricted to undirected graphs generalises the well-studied modular graph decomposition, and meets the recently introduced bi-join decomposition. All other cases up to our knowledge lead to new notions. First some properties of the umodule family are presented. Polynomial-time algorithms for non-trivial umodule existence test and for maximal umodule computation are then provided. When the input structure fulfills some natural axioms, the umodule family is shown to own a unique decomposition tree. We provide various algorithms to compute this tree in polynomial time: their exact performance depends on some size assumption. Among other our theory applies to two particular cases: undirected graphs and tournaments. First, the latter tree-decomposition time in theses two cases is linear in the size of the input structure. Besides, our work here can also be seen as a unification of the bi-join undirected graph decomposition and of a new tournament decomposition. From this viewpoint, we address the total decomposability of those structures, and obtain strong structural relationship between the so-called cographs and round tournaments. We then show how our theory provides a very natural manner to obtain several results on the so-called round tournaments, including characterisation by forbiding induced subgraphs, recognition, isomorphism testing, and feedback vertex set computation.

研究动机与目标

• 将图模块的概念推广至更广泛的结构类别，包括无向图、竞赛图与 2-结构。
• 开发用于检测同质关系中非平凡 umodules 及计算最大 umodules 的多项式时间算法。
• 为满足自然公理的结构建立唯一的分解树，以支持高效的结构分析。
• 统一现有分解理论，特别是 cograph 的双联结分解与一种新的竞赛图分解理论。
• 基于该框架，推导出关于环形竞赛图与 cograph 的新算法结果，涵盖识别、同构测试与反馈顶点集计算。

提出的方法

• 将 umodules 定义为图模块的推广，其定义基于包含无向图、竞赛图与有向图的同质关系。
• 确立在何种公理下，umodule 家族可形成唯一的分解树，以确保结构一致性。
• 设计多项式时间算法，用于检测输入结构中是否存在非平凡 umodules。
• 设计多项式时间算法，用于计算所有最大 umodules，作为分解的基础。
• 将分解树构造方法应用于具体情形：无向图与竞赛图，实现线性时间复杂度。
• 利用分解树推导出 cograph 与环形竞赛图的新结构刻画与算法结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 图模块的概念能否推广至更广泛的组合结构类别，包括竞赛图与 2-结构？
• RQ2 在何种条件下，给定结构的 umodule 家族可存在唯一的分解树？
• RQ3 如何高效计算分解树？其时间复杂度在无向图与竞赛图等特定类别中的表现如何？
• RQ4 umodule 框架能否统一现有的分解理论，如双联结分解与竞赛图分解？
• RQ5 利用此分解框架，能否为 cograph 与环形竞赛图推导出新的算法与结构结果？

主要发现

• umodule 框架统一了无向图的模块分解与双联结分解，为这些概念提供了统一视图。
• 对于无向图与竞赛图，分解树可在线性时间（相对于输入规模）内计算得出。
• 该理论通过分解结构推导出 cograph 的新刻画方式，即通过禁止的诱导子图。
• 利用分解树可高效解决环形竞赛图的识别与同构测试问题。
• 通过该分解框架，环形竞赛图的反馈顶点集问题可在多项式时间内求解。
• 当输入结构满足某些自然公理时，umodule 家族满足唯一分解树性质，确保结构的一致性。