[论文解读] A Newton algorithm for semi-discrete optimal transport with storage fees and quantitative convergence of cells.

Mohit Bansil, Jun Kitagawa|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2019

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用 1

一句话总结

本文提出了一种阻尼牛顿算法，用于求解带有存储费用的半离散最优传输问题，证明了在参数极限下拉盖尔单元的定量收敛性。该研究在不依赖庞加莱-维尔茨格不等式的情况下建立了测度收敛性，并展示了单元的豪斯多夫收敛性与对偶势函数的一致收敛性之间的等价性，从而为经典半离散最优传输提供了近似解。

ABSTRACT

In this paper we will continue analysis of the variant of semi-discrete optimal transport problem with storage fees, previously analyzed by the authors, by proving convergence of a damped Newton algorithm for a specific choice of storage fee function, along with quantitative convergence of the associated Laguerre cells under limits of various parameters associated with the problem. A convergence result for cells in measure is proven without the additional assumption of a Poincar{\`e}-Wirtinger inequality on the source measure, while convergence in Hausdorff metric is shown when assuming such an inequality. Additionally, it is shown that the Hausdorff convergence of Laguerre cells is equivalent to uniform convergence of the associated dual potentials, in a quantitative manner. These convergence results also yield approximations to the classical semi-discrete optimal transport problem.

研究动机与目标

• 分析带有存储费用的半离散最优传输问题中拉盖尔单元的收敛行为。
• 为特定存储费用函数下的对偶问题开发并证明一种阻尼牛顿算法。
• 在不假设源测度满足庞加莱-维尔茨格不等式的情况下，建立单元在测度意义下的定量收敛性。
• 在额外假设庞加莱-维尔茨格不等式成立的条件下，证明拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性。
• 以定量方式证明拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性与对偶势函数一致收敛性之间的等价性。

提出的方法

• 针对特定存储费用函数下的半离散最优传输问题的对偶形式，应用阻尼牛顿方法。
• 利用变分分析和拉盖尔单元的性质，研究其在参数极限下的收敛性。
• 采用测度论收敛技术，在无需额外函数不等式的情况下建立单元在测度意义下的收敛性。
• 引入庞加莱-维尔茨格不等式假设，以推导单元的豪斯多夫收敛性。
• 建立拉盖尔单元豪斯多夫收敛性与对偶势函数一致收敛性之间的定量等价性。
• 利用对偶势函数的结构和单元的几何特性，推导误差界和收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特定费用函数下，阻尼牛顿算法是否能收敛于带有存储费用的半离散最优传输问题？
• RQ2 在存储费用模型的参数极限下，拉盖尔单元的行为如何？
• RQ3 是否可以在不假设庞加莱-维尔茨格不等式成立的条件下，建立单元在测度意义下的收敛性？
• RQ4 拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性在何种条件下成立，其与对偶势函数收敛性有何关联？
• RQ5 拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性与对偶势函数一致收敛性之间是否存在定量等价性？

主要发现

• 在特定存储费用函数选择下，阻尼牛顿算法能收敛于带有存储费用的半离散最优传输问题。
• 在不依赖源测度满足庞加莱-维尔茨格不等式的前提下，拉盖尔单元在测度意义下收敛于经典单元。
• 在假设庞加莱-维尔茨格不等式成立的条件下，建立了拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性。
• 拉盖尔单元的豪斯多夫收敛性与对偶势函数的一致收敛性之间存在定量等价性。
• 收敛结果为经典半离散最优传输问题提供了近似解。
• 单元与对偶势函数收敛性之间的定量等价性，使得数值实现中的误差估计成为可能。