[论文解读] A Non-Differentiable Quantum Variational Embedding in Presence of Time Delays

Gastão S. F. Frederico, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于Cresson的尺度微积分，用于具有时间延迟的拉格朗日和哈密顿系统的非可微量子变分嵌入。通过将经典导数替换为尺度导数，并在变分过程中施加因果性，作者建立了一个一致的最小作用量原理，从而在非可微设定下获得一致的欧拉-拉格朗日方程与哈密顿方程，保持了具有时间延迟的物理一致性。

ABSTRACT

We develop Cresson's non-differentiable embedding to quantum problems of the calculus of variations and optimal control with time delay. Main results show that the dynamics of non-differentiable Lagrangian and Hamiltonian systems with time delays can be determined, in a coherent way, by the least-action principle.

研究动机与目标

• 将Cresson的非可微变分 calculus 推广至具有时间延迟的系统。
• 通过限制允许变分的集合，确保在时间延迟存在下变分嵌入的一致性。
• 为非可微拉格朗日与哈密顿动力学推导出一致的具有延迟的尺度欧拉-拉格朗日方程与哈密顿系统。
• 通过尺度导数与庞特里亚金型极值，将最优控制理论推广至具有时间延迟的非可微系统。
• 验证所得动力学是否满足非可微、延迟系统中的协调性原理。

提出的方法

• 使用Cresson的尺度导数算子，该算子被定义为左、右$ε$-导数的复组合，以推广非可微函数的经典导数。
• 通过定义包含尺度导数的延迟泛函，将尺度变分 calculus 应用于具有时间延迟的变分问题。
• 通过将扰动限制在未来的和过去的延迟范围内，实现变分过程中的因果性，确保动力学的一致性。
• 利用最小作用量原理，推导出具有时间延迟的非可微拉格朗日系统的尺度欧拉-拉格朗日方程。
• 通过引入共向量函数$p(t)$，构建尺度哈密顿形式体系，从而得到具有延迟的尺度哈密顿系统。
• 对扩展泛函应用拉格朗日乘子法，推导出必要最优性条件，得到尺度庞特里亚金极值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用尺度微积分，将最小作用量原理一致地应用于具有时间延迟的非可微拉格朗日系统？
• RQ2 如何在变分过程中施加因果性，以在具有时间延迟的非可微系统中保持一致性？
• RQ3 具有时间延迟的非可微变分问题的尺度欧拉-拉格朗日方程是什么？
• RQ4 如何为具有时间延迟的非可微最优控制问题构建尺度哈密顿形式体系？
• RQ5 所得到的尺度庞特里亚金极值框架是否在非可微、延迟系统中保持了协调性原理？

主要发现

• 当变分被限制在因果集合时，具有时间延迟的非可微拉格朗日系统嵌入是一致的，确保了物理一致性。
• 通过使用尺度导数和最小作用量原理，推导出具有时间延迟的尺度欧拉-拉格朗日方程，将经典结果推广至非可微曲线。
• 建立了一个一致的具有时间延迟的尺度哈密顿系统，其动力学由尺度导数和共轭变量控制。
• 尺度庞特里亚金极值推广了经典极值，并在可微极限下退化为经典极值，证实了一致性。
• 所推导的尺度哈密顿系统满足必要最优性条件，共轭变量$p(t)$通过尺度导数与广义动量相关联。
• 在最优控制设定下，通过从扩展泛函一致推导必要条件，证明了协调性原理在具有时间延迟的系统中得以保持。