[论文解读] A noncommutative Weierstrass preparation theorem and applications to Iwasawa theory

Otmar Venjakob|ArXiv.org|Apr 12, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 19

一句话总结

本文为非交换局部环上的斜幂级数环建立了非交换Weierstrass准备定理，从而为非交换$p$-进李群上的Iwasawa模提供了结构理论。关键贡献在于证明了某些伽罗瓦模——特别是非交换$\mathbb{Z}_p^2$-扩张上的$p$-希尔伯特类域群——是完全忠实的，即其全局消去子为零，这意味着它们没有特征理想，无法通过消去子与$L$-函数建立联系。

ABSTRACT

In this paper and a forthcoming joint one with Y. Hachimori we study Iwasawa modules over an infinite Galois extension K of a number field k whose Galois group G=G(K/k) is isomorphic to the semidirect product of two copies of the p-adic numbers. After first analyzing some general algebraic properties of the corresponding Iwasawa algebra, we apply these results to the Galois group of the p-Hilbert class field over K. As a main tool we prove a Weierstrass preparation theorem for certain skew power series rings. One striking result in our work is the discovery of the abundance of faithful torsion modules, i.e. non-trivial torsion modules whose global annihilator ideal is zero. Finally we show that the completed group algebra with coefficients in the finite field of p elements is a unique factorization domain in the sense of Chatters.

研究动机与目标

• 为非交换局部环上的斜幂级数环建立非交换Weierstrass准备定理的非交换类比。
• 研究Iwasawa代数$\Lambda(G)$上的Iwasawa模，其中$G$是非交换的pro-$p$群，且同构于$H \rtimes \Gamma$，满足$H \cong \Gamma \cong \mathbb{Z}_p$。
• 分析非交换$\mathbb{Z}_p^2$-扩张上$p$-希尔伯特类域的伽罗瓦群$X_{nr}$的结构。
• 证明$X_{nr}$是$\Lambda(G)$-模的完全忠实模，这意味着$\mathrm{Ann}(X_{nr}) = 0$，从而阻止其通过全局消去子与$L$-函数建立联系。
• 证明完成群代数$\mathbb{F}_p[[G]]$在Chatters意义下是唯一分解整环。

提出的方法

• 将Iwasawa代数$\Lambda(G)$表示为$R = \Lambda(H)$上的斜幂级数环$R[[Y; \sigma, \delta]]$，其中$H \cong \mathbb{Z}_p$。
• 为这类斜幂级数环证明广义的Weierstrass准备定理，建立除法引理，并实现到Weierstrass多项式的因式分解。
• 利用准备定理分析既是$\Lambda(G)$-模也是$\Lambda(H)$-模的有限生成模，特别关注其伪零与忠实性质。
• 应用上同调技术，包括函子$\mathrm{E}^i$，研究$X_{nr}$的结构及其在子群$H_n$上的余不变量。
• 利用Nakayama引理和交换Iwasawa代数的结构理论，分析$X_{nr}$-余不变量的秩增长。
• 通过具有伪零余核的伪同构，建立$p$-类群的直接极限与逆极限之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非交换局部环上的斜幂级数环建立非交换Weierstrass准备定理？其代数后果是什么？
• RQ2 在算术背景中，特别是Iwasawa理论中，是否存在忠实的 torsion $\Lambda(G)$-模（即全局消去子为零的模）？
• RQ3 在非交换$\mathbb{Z}_p^2$-扩张上，$p$-希尔伯特类域的伽罗瓦群$X_{nr}$作为$\Lambda(G)$-模是否是完全忠实的？
• RQ4 在非交换$p$-进李扩张中，$p$-类群的直接极限与逆极限之间的对偶性是否保持？该对偶性中余核的性质如何？
• RQ5 当$G \cong \mathbb{Z}_p^2 \rtimes \mathbb{Z}_p$时，完成群代数$\mathbb{F}_p[[G]]$在Chatters意义下是否为唯一分解整环？

主要发现

• 在$k_{\infty} = \mathbb{Q}(\mu_p)(p^{p^{-\infty}})$上的$p$-希尔伯特类域的伽罗瓦群$X_{nr}$是$\Lambda(G)$-模的完全忠实模，即$\mathrm{Ann}(X_{nr}) = 0$，因此它没有非零的全局消去子。
• 直接极限$p$-类群$\mathrm{Cl}(k_{\infty})(p)^\vee$的庞特里亚金对偶与$\mathrm{E}^1(X_{nr})$伪同构，余核为伪零，从而建立了非交换对偶性。
• 若$X_{nr}$为伪零，则$\mathrm{Cl}(k_{\infty})(p) = 0$，且此情形恰好发生在$p$为正则素数时。
• $X_{nr}$的$\mu$-不变量为零当且仅当$X_{nr}$是$\Lambda(H)$上的有限生成模，这意味着对所有$n$有$\mu(X(k_{n,\infty})) = 0$。
• $X_{nr}$-余不变量$X_{nr, H_n}$的秩渐近增长为$\mathrm{rk}_{\Lambda(H)}(X_{nr}) \cdot p^n + c$，其中常数$c$存在，$\lambda$-不变量由模的秩及其结构决定。
• 单位群模$\mathcal{E}(k_{\infty})$的挠子模为伪零，这是主定理与对偶性的推论。