[论文解读] A Nonlocal Formulation of Rotational Water Waves

A. C. L. Ashton, A. S. Fokas|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2008

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文提出了一种二维旋转水波的非局部公式，将经典的无旋水波方程推广至包含恒定涡度和多值自由表面的情形。推导了波高与表面势的非局部方程，建立了行进波解的波高上界，并构造了渐近哈密顿系统，阐明了KdV方程中涡度的显式作用，将先前工作扩展至包含表面张力和高维情形。

ABSTRACT

The classical equations of irrotational water waves have recently been reformulated as a system of two equations, one of which is an explicit non-local equation for the wave height and for the velocity potential evaluated on the free surface. Here, in the two dimensional case, (a) we generalise the relevant formulation to the case of constant vorticity, as well as to the case where the free surface is described by a multi-valued function; (b) in the case of travelling waves we derive an upper bound for the free surface; (c) in the case of constant vorticity we construct a sequence of nearly Hamiltonian systems which provide an approximation in the asymptotic limit of certain physical small parameters. In particular, the explicit dependence of the vorticity on the coefficients of the KdV equation is clarified. Also, in the irrotational case we extend the formalism to n>2 dimensions and analyse rigorously the linear limit of these equations.

研究动机与目标

• 将无旋水波的非局部公式推广至二维情形，以包含恒定涡度和多值自由表面。
• 在恒定涡度的行进波解情形下，推导自由表面轮廓的上界。
• 在渐近极限下构造一系列近似哈密顿系统，明确阐明涡度在KdV方程系数中的显式作用。
• 将该形式化方法扩展至n>2空间维数，并严格分析非局部方程的线性极限。
• 将表面张力效应自然地纳入非局部公式中，该效应在经典处理中此前被忽略。

提出的方法

• 在由可变底部和自由表面界定的区域内，以速度势和表面高度为主要变量，建立旋转水波的控制方程。
• 通过自由表面上的边界条件和链式法则，消除体速度势，推导波高与表面势的非局部方程。
• 利用底部的诺伊曼条件和自由面上的运动学/伯努利条件，将动力学仅用表面变量表示。
• 应用行进波假设，将系统约化为常微分方程，通过能量型估计推导波高上界。
• 通过在小参数下展开非局部方程，构造渐近近似哈密顿系统，并在极限线性情形下进行严格分析。
• 通过在动态边界条件中引入非线性曲率项，将表面张力效应显式包含在非局部公式中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典无旋水波的非局部公式推广至二维情形，以包含恒定涡度？
• RQ2 在行进旋转水波情形下，可为自由表面轮廓推导出何种上界？
• RQ3 在渐近极限下，涡度如何影响Korteweg–de Vries（KdV）方程的系数？
• RQ4 非局部公式能否扩展至n>2空间维数，并在线性区域严格分析？
• RQ5 表面张力如何自然地被纳入旋转水波的非局部公式中？

主要发现

• 本文推导出一个波高与表面势的非局部方程，将无旋情形推广至包含恒定涡度和二维多值自由表面的情形。
• 对于行进波解，建立了波高上界：$\eta \leq \frac{c^2}{2g} + \frac{\sigma}{2\rho g} \frac{d}{dz} \left( \frac{\eta'}{\sqrt{1 + (\eta')^2}} \right)$，在无旋、无表面张力情形下退化为经典上界。
• 在渐近极限下，构造了一组近似哈密顿系统，明确展示了涡度如何进入KdV方程系数。
• 通过标准PDE技术，严格分析了n>2维情形下非局部方程的线性极限，提供了一套与先前方法不同的新框架。
• 通过动态边界条件中的曲率相关项，该公式自然地包含了表面张力效应，而该效应在经典公式中缺失。
• 证明了非局部公式适用于高阶摄动分析，为传统摄动PDE求解方法提供了一条更直接的替代路径。