[论文解读] A nonvariational finite element method for fully nonlinear elliptic problems

Omar Lakkis, Tristan Pryer|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非变分有限元方法，用于求解完全非线性椭圆PDE，该方法利用Lakkis & Pryer（2011）提出的离散化技术，可直接求解线性PDE的强形式。该方法自然地产生有限元Hessian矩阵作为副产品，针对二阶完全非线性问题发展了两种不同的方法，数值基准测试验证了Monge-Ampère方程和Pucci方程的收敛性。

ABSTRACT

We present a continuous finite element method for some examples of fully nonlinear elliptic equation. A key tool is the discretisation proposed in Lakkis & Pryer (2011, SISC) allowing us to work directly on the strong form of a linear PDE. An added benefit to making use of this discretisation method is that a recovered (finite element) Hessian is a biproduct of the solution process. We build on the linear basis and ultimately construct two different methodologies for the solution of second order fully nonlinear PDEs. Benchmark numerical results illustrate the convergence properties of the scheme for some test problems including the Monge-Ampere equation and Pucci's equation.

研究动机与目标

• 开发一种用于完全非线性椭圆PDE的有限元方法，避免使用变分公式。
• 利用强形式离散化技术，直接求解PDE，而无需弱形式。
• 利用求解过程中自然产生的有限元Hessian矩阵作为副产品。
• 为求解二阶完全非线性PDE构建两种不同的方法论。
• 通过基准问题的数值验证，评估所提方案的收敛性和鲁棒性。

提出的方法

• 该方法采用基于线性PDE强形式的连续有限元离散化，如Lakkis & Pryer（2011）所引入。
• 使用节点有限元基函数近似解，并通过单元内恢复方法重构Hessian矩阵。
• 该方法通过直接处理PDE的强形式，避免了对变分公式的依赖。
• 为处理完全非线性PDE，开发了两种不同的求解策略，利用恢复的Hessian矩阵。
• 该方法应用于包括Monge-Ampère方程和Pucci方程在内的测试问题。
• 通过结构化网格上的数值基准测试评估收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非变分有限元方法能否有效应用于完全非线性椭圆PDE？
• RQ2 如何在有限元框架中对线性PDE的强形式进行离散化，以实现对非线性问题的直接求解？
• RQ3 所恢复的Hessian矩阵在完全非线性PDE求解过程中能发挥多大作用？
• RQ4 所提方法在Monge-Ampère方程和Pucci方程等基准非线性PDE上的收敛性如何？
• RQ5 两种所提方法在精度和稳定性方面有何比较差异？

主要发现

• 该方法成功求解了完全非线性椭圆PDE，且无需使用变分公式。
• 有限元Hessian矩阵作为求解过程的自然副产品被恢复，可直接用于非线性求解器。
• 数值结果表明，在所提方案下，Monge-Ampère方程和Pucci方程均表现出收敛性。
• 该离散化方法可在标准有限元网格上稳定且准确地求解二阶完全非线性PDE。
• 两种所提方法论在基准测试问题中均表现出鲁棒的收敛行为。
• 该方法展示了在有限元框架下对完全非线性问题实现直接强形式离散化的可行性。