[论文解读] A note on ${\cal N}\ge 6$ Superconformal Quantum Field Theories in three dimensions

Denis Bashkirov|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文证明，在三维中所有不可约的 ${\cal N} \geq 6$ 超共形量子场论必须包含一个全局 $U(1)$ 对称性，该对称性源于应力张量多重态的结构。它证明了任何 ${\cal N}=7$ 超共形理论必然增强为 ${\cal N}=8$ 超对称性，从而解释了为何在此类理论中不存在纯粹的 ${\cal N}=7$ 理论。

ABSTRACT

Based on the structure of the three-dimensional superconformal algebra we show that every irreducible ${\mathcal N}=6$ three-dimensional superconformal theory containes exactly one conserved U(1)-symmetry current in the stress tensor supermultiplet and that superconformal symmetry of every ${\mathcal N}=7$ superconformal theory is in fact enhanced to ${\mathcal N}=8$. Moreover, an irreducible ${\cal N}=8$ superconformal theory does not have any global symmetries. The first observation explains why all known examples of ${\mathcal N}=6$ superconformal theories have a global abelian symmetry.

研究动机与目标

• 解释一个经验观察：所有已知的三维 ${\cal N}=6$ 超共形场论都具有全局 $U(1)$ 对称性。
• 确定 ${\cal N}=7$ 超共形场论是否可以独立于 ${\cal N}=8$ 理论存在。
• 建立任何 ${\cal N}=7$ 超共形场论实际上必须是 ${\cal N}=8$ 的结论，这是由于与幺正性和超共形代数的一致性。
• 阐明应力张量多重态及其在 $SO({\cal N})_R$ 下的分解在约束全局对称性方面的作用。

提出的方法

• 通过超共形群的子群 $SO(2) \times SO(3) \times SO({\cal N})_R$ 分析 ${\cal N} \geq 6$ 三维超共形场论中应力张量的超共形多重态结构。
• 识别应力张量多重态的最低分量为在 $SO({\cal N})_R$ 下的四阶反对称张量，当 ${\cal N}=6$ 时，这等价于一个二阶反对称张量。
• 利用在 ${\cal N}=6$ 理论中，应力张量多重态的第二级算符同时包含 $R$-电流和一个守恒的全局 $U(1)$ 电流这一事实，这是由于二阶与四阶反对称张量之间的对偶性。
• 研究 ${\cal N}=7$ 理论中 $U(1)$ 对称性在 $SO(7)_R$ 中的嵌入方式，考虑其是否与 $R$-对称性群交换。
• 应用表示论，将 $SO(7)_R$ 的 ${\bf 35}$ 代表在 $SO(6)_R$ 下分解，显示其包含 ${\bf 15} + {\bf 10} + {\bf \overline{10}}$，这与 ${\cal N}=8$ 的分解一致。
• 通过超荷双线性形式 $Q_{(\alpha}^{[i} Q_{\beta)}^{j]}$ 作用于标量算符，证明若 $U(1)$ 与 $SO(7)_R$ 交换，则会产生超出 $SO(7)_R$ 允许数量的额外守恒电流，从而暗示 $\mathcal{N}=8$ 的增强。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何所有已知的三维 ${\cal N}=6$ 超共形场论都具有全局 $U(1)$ 对称性？
• RQ2 一个与 ${\cal N}=8$ 无关的、一致的 ${\cal N}=7$ 超共形场论是否可以存在？
• RQ3 应力张量多重态的结构对 ${\cal N} \geq 6$ 超共形场论中的全局对称性施加了何种约束？
• RQ4 ${\cal N}=6$ 理论中的 $U(1)$ 对称性如何嵌入到更高-$\mathcal{N}$ 理论的 $R$-对称性群中？
• RQ5 当 ${\cal N}=7$ 理论中的 $U(1)$ 电流与 $SO(7)_R$ 交换时会发生什么？这是否导致矛盾？

主要发现

• 所有不可约的三维 ${\cal N}=6$ 超共形量子场论都包含一个守恒的全局 $U(1)$ 电流，该电流位于应力张量多重态的第二级。
• 该 $U(1)$ 对称性的存在是 $SO(6)_R$ 下二阶与四阶反对称张量等价性的直接结果，而这种等价性仅在 ${\cal N}=6$ 时成立。
• 若 ${\cal N}=7$ 理论中的 $U(1)$ 对称性与 $SO(7)_R$ 交换，则超荷双线性形式将生成多于 $SO(7)_R$ 允许数量的守恒电流，暗示存在额外的 $R$-对称性。
• 这种守恒电流的过剩迫使 $R$-对称性群从 $SO(7)_R$ 增强为 $SO(8)_R$，从而将理论升级为 ${\cal N}=8$ 超对称性。
• 因此，纯粹的 ${\cal N}=7$ 超共形场论不可能存在；任何此类理论必须是 ${\cal N}=8$。
• 结果是，所有 ${\cal N}=8$ 超共形场论都不具有全局对称性，因为 $U(1)$ 电流是 $R$-对称性群 $SO(8)_R$ 的一部分。