[论文解读] A note on Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于概形的导出环路空间的导出范畴层（即稳定 ∞-范畴的层）的范畴化陈特征——该构造与循环同调相关联。该构造推广了完美复形的经典陈特征，并为导出代数几何中的示性类提供了新框架，与霍奇结构的变化相关，且对代数椭圆上同调具有潜在影响。

ABSTRACT

In this note we present a work in progress whose main purpose is to establish a categorified version of sheaf theory. We present a notion of derived categorical sheaves, which is a categorified version of the notion of complexes of sheaves of modules on schemes, as well as its quasi-coherent and perfect versions. We also explain how ideas from derived algebraic geometry and higher category theory can be used in order to construct a Chern character for these categorical sheaves, which is a categorified version of the Chern character for perfect complexes with values in cyclic homology. Our construction uses in an essential way the derived loop space of a scheme X, which is a derived scheme whose theory of functions is closely related to cyclic homology of X. This work can be seen as an attempt to define algebraic analogs of elliptic objects and characteristic classes for them. The present text is an overview of a work in progress and details will appear elsewhere.

研究动机与目标

• 在导出代数几何中发展范畴化层理论，将 O-模的复形推广为稳定 ∞-范畴的层。
• 为完美范畴层构造一个取值于循环同调的陈特征，以推广经典陈特征。
• 将该范畴化陈特征与导出环路空间及 S¹-等变结构联系起来，关联至霍奇理论与周期循环同调。
• 探索高阶范畴结构（2-范畴、n-范畴）与色度层次递增的广义上同调理论之间的联系，特别是椭圆上同调。
• 为通过高阶范畴与导出几何方法理解椭圆对象的代数类比及其示性类，奠定基础工具。

提出的方法

• 将导出范畴层定义为 O-模复形的范畴化类比，包括拟相干与完美变体。
• 利用概形 X 的导出环路空间 LX，其函数代数与 X 的循环同调密切相关。
• 从完美范畴层 T 的 K-理论构造一个陈特征映射 Ch^cat(T)，取值于 LX 的 S¹-等变导出范畴 D^{S¹}_{parf}(LX)。
• 利用高阶范畴理论中的迹映射，特别是针对刚性对称张量 ∞-范畴，通过范畴的霍尔兹同调定义陈特征。
• 通过将 D^{S¹}_{parf}(LX) 识别为微分算子的 Rees 代数上的 D-模导出范畴，将构造与霍奇滤子和 Gauss-Manin 联络联系起来，从而关联至霍奇结构的变化。
• 利用局部化与形式形变技术，将 S¹-等变负循环同调与周期循环同调及霍奇多项式联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在导出代数几何中为稳定 ∞-范畴的层（即范畴层）定义陈特征？
• RQ2 导出环路空间在编码范畴层的循环同调与示性类方面起到什么作用？
• RQ3 该范畴化陈特征如何与霍奇结构的变化及 Gauss-Manin 联络相关联？
• RQ4 该构造能否为周期循环同调与霍奇多项式提供范畴层的几何解释？
• RQ5 该框架在多大程度上可作为椭圆上同调的代数类比？其对拓扑椭圆上同调可能提供何种启示？

主要发现

• 范畴化陈特征 Ch^cat(T) 被构造为取值于 LX 的 S¹-等变导出范畴中的态射，其取值为负循环同调。
• 该构造通过对称张量 ∞-范畴中的迹，将陈特征实现为从完美范畴层 T 的 K-理论到其范畴霍尔兹同调的迹映射。
• Ch^cat(T) 的像编码了负循环复形 HC^−(T) 的霍奇滤子与 Gauss-Manin 联络，暗示了自然的霍奇结构变化结构。
• 当 X 为特征零域上的光滑概形时，S¹-等变导出范畴 D^{S¹}_{parf}(LX) 被识别为微分算子的 Rees 代数上的模的导出范畴。
• 预期存在从 HC^−,S¹_0(LX) 到 HP_0(X)[[t]][t^{-1}] 的态射，将范畴化陈特征与周期循环同调及霍奇多项式联系起来。
• 该框架为椭圆上同调的代数类比提供了一个候选，且可能通过代数 K-理论构造（如 Walker 对 K-理论的结果）恢复拓扑椭圆上同调。