[论文解读] A note on continuity of magnetization at criticality for the ferromagnetic Ising model on amenable quasi-transitive graphs with exponential growth

Aran Raoufi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Theoretical and Computational Physics参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文通过证明在具有指数增长的可约准传递图上的铁磁伊辛模型在临界反温度 $\beta_c$ 处自发磁化连续，建立了该模型存在二阶相变。证明结合了 Hutchcroft 在伯努利渗滤中相关性衰减的论证与 Aizenman、Duminil-Copin 和 Sidoravicius 提出的随机电流表示法，表明自由测度中长程序的缺失意味着在 $\beta_c$ 处自发磁化为零。关键结果为 $\mu_{G,\beta_c}^{+}(\sigma_x) = 0$，证实了临界点处磁化的连续性。

ABSTRACT

The purpose of this modest note is to point out that the proof of the recent result of Huchcroft concerning continuity of phase transition in Bernoulli percolation is applicable to the setting of the Ising model with free boundary condition. This observation, together with a recent result of Aizenman, Duminil-Copin, and Sidoravicius implies that the Ising model on amenable quasi-transitive graph with exponential growth undergoes a second order phase transition.

研究动机与目标

• 建立铁磁伊辛模型在具有指数增长的可约准传递图上于临界反温度 $\beta_c$ 处自发磁化的连续性。
• 将 Hutchcroft 在伯努利渗滤中的证明技术扩展至具有自由边界条件的伊辛模型。
• 应用随机电流表示法与 Aizenman、Duminil-Copin 和 Sidoravicius 的近期结果，推导出二阶相变。
• 证明自由测度中长程序的消失意味着在 $\beta_c$ 处自发磁化为零。

提出的方法

• 将 Hutchcroft 在伯努利渗滤中相关性衰减的证明方法适配至具有自由边界条件的伊辛模型，利用相关性的超乘性。
• 定义 $\kappa_\beta(n) = \min_{y \in \Lambda_n(x)} \mu_\beta^0(\sigma_x\sigma_y)$，并利用 Griffiths 不等式证明其超乘性。
• 利用图的指数增长性质，证明对所有 $\beta < \beta_c$，有 $\sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n} < \rho < 1$，依赖于 $|\Lambda_n|^{-1/n}$ 的衰减。
• 利用有限体积相关性的单调性与连续性，证明 $\beta \mapsto \sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n}$ 的左连续性。
• 应用 [ADS15] 中的定理 4，该定理将自由测度相关性归一化和的消失与零自发磁化联系起来。
• 构造一列有限集 $\{K_n\}$，使得 $\sum_{x,y \in K_n} \mu_{\beta_c}^0(\sigma_x\sigma_y)/|K_n|^2 \to 0$，满足定理 4 中的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有指数增长的可约准传递图上，铁磁伊辛模型在 $\beta_c$ 处的自发磁化是否保持连续？
• RQ2 Hutchcroft 在渗滤中关于相关性衰减的论证能否被适配至具有自由边界条件的伊辛模型？
• RQ3 在何种条件下，自由测度中长程序的缺失意味着自发磁化为零？
• RQ4 在此类一般图设定下，相变是否为二阶相变，如同在 $\mathbb{Z}^d$ 中的情形？

主要发现

• 在 $\beta_c$ 处自发磁化 $\mu_{G,\beta_c}^{+}(\sigma_x)$ 连续，且 $\mu_{G,\beta_c}^{+}(\sigma_x) = 0$。
• 相关性衰减速率 $\kappa_{\beta_c}(n) \leq \rho^n$ 对某个 $\rho < 1$ 成立，该结果通过超乘性与指数增长性建立。
• $\beta \mapsto \sup_n (\kappa_\beta(n))^{1/n}$ 的左连续性被确立，确保衰减界可延拓至 $\beta_c$。
• 构造的集合 $K_n$ 满足 $\sum_{x,y \in K_n} \mu_{\beta_c}^0(\sigma_x\sigma_y)/|K_n|^2 \leq C/n \to 0$，满足定理 4 的条件。
• 结果确认了在具有指数增长的可约准传递图上，伊辛模型存在二阶相变。
• 通过自同构不变性，该证明可推广至准传递图，并可将现有在传递图上的结果提升至更一般情形。