[论文解读] A Note on Harmonic number identities, Stirling series and multiple zeta values

Markus Kuba, Alois Panholzer|ArXiv.org|Jul 2, 2018

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了一类涉及截断多重ζ星函数与ζ函数的广义级数，将其与Stirling级数、Euler和以及Arakawa-Kaneko ζ函数联系起来。研究建立了插值多重ζ值的行列式表示，并证明此类表示仅在 t=0（普通ζ函数）和 t=1（星型ζ函数）时存在，而在 t=1/2 的特殊情况下，导出了一个涉及调和数的新公式。

ABSTRACT

We study a general type of series and relate special cases of it to Stirling series, infinite series discussed by Choi and Hoffman, and also to special values of the Arakawa-Kaneko zeta function, complementing and generalizing earlier results. Moreover, we survey properties of certain truncated multiple zeta and zeta star values, pointing out their relation to finite sums of harmonic numbers. We also discuss the duality result of Hoffman, relating binomial sums and truncated multiple zeta star values.

研究动机与目标

• 研究涉及截断多重ζ值与ζ星值的广义级数 S(ℓ₁,ℓ₂,r₁,r₂)。
• 将该级数与已知的求和类（包括Stirling级数和Hoffman型Euler和）建立联系。
• 研究插值多重ζ值 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 的行列式表示，并确定其存在的条件。
• 通过调和数恒等式，推广关于Arakawa-Kanego ζ函数和截断ζ值的结果。

提出的方法

• 通过调和数、二项式系数和截断ζ函数定义级数 S 及其截断形式 Sₙ。
• 利用stuffle积和生成函数技术，将 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 展开为调和数 Hₙ⁽ⁱ⁾ 的多项式。
• 应用Laplace展开和系数比较法，确定行列式表示存在的条件。
• 采用Hoffman与Ihara的代数框架，推导 t=1/2 时 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 的生成级数。
• 通过递归应用stuffle关系分析 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 的结构，推导出显式多项式表达式。
• 通过求解由系数匹配导出的方程组，证明当 k≥5 且 t≠0,1 时，行列式形式不存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 t 值，存在形如 ζⁿᵗ({1}ᵏ) = (1/k!)|H| 的行列式表示？
• RQ2 广义级数 S(ℓ₁,ℓ₂,r₁,r₂) 如何与Stirling级数及Arakawa-Kanego ζ函数相关联？
• RQ3 在 t=1/2 时，插值ζ值 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 是否能用调和数表示？
• RQ4 在 t=0 和 t=1 之外，此类行列式公式的存在条件是什么（必要且充分）？
• RQ5 ζⁿᵗ({1}ᵏ) 作为广义调和数 Hₙ⁽ⁱ⁾ 的多项式，其结构如何？

主要发现

• ζⁿᵗ({1}ᵏ) 的行列式表示仅在 t=0（普通ζ函数）和 t=1（星型ζ函数）时存在，t=1/2 为特殊情况。
• 当 t=1/2 且 k=4 时，ζⁿᵗ({1}⁴) = (1/24)[Hₙ⁴ + 2HₙHₙ⁽³⁾]，其中 c₁=0，c₂=i√2，c₃=−i√2。
• 当 k=5 且 t=1/2 时，ζⁿᵗ({1}⁵) = (1/80)Hₙ⁽⁵⁾ + (1/24)Hₙ²Hₙ⁽³⁾ + (1/120)Hₙ⁵，但不存在行列式形式。
• 系数比较法表明，仅当 t=0 和 t=1 时，能同时满足一般 k 的方程组要求。
• 在 t=1/2 时，ζⁿᵗ({1}ᵏ) 存在涉及Bell多项式的生成级数公式：Bₖ₋₁(0!·2Hₙ⁽¹⁾, 0, 2!·2Hₙ⁽³⁾, 0, …)。
• 在 t=1/2 情况下，所有偶数阶广义调和数 Hₙ⁽²ˡ⁾ 均为零，从而简化了表达式。