[论文解读] A note on measures of parallel sets

Jan Rataj, Steffen Winter|arXiv (Cornell University)|May 20, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文研究了欧氏空间中 r-平行集的体积与表面积之间的关系，表明表面积的缩放极限存在可推出相应体积极限的存在，即所谓的闵可夫斯基内容（Minkowski content）。本文对自相似分形集完全刻画了这种行为，并将结果应用于平稳随机集，包括布朗运动轨迹。

ABSTRACT

Abstract. The r-parallel set to a set A in a Euclidean space consists of all points with distance at most r from A. We clarify the relation between the volume and the surface area of parallel sets and study the asymptotic behaviour of both quantities as r tends to 0. We show, for instance, that in general, the existence of a (suitably rescaled) limit of the surface area implies the existence of the corresponding limit for the volume, known as the Minkowski content. A full characterisation is obtained for the case of self-similar fractal sets. Applications to stationary random sets are discussed as well, in particular, to the trajectory of the Brownian motion. 1.

研究动机与目标

• 阐明欧氏空间中 r-平行集的体积与表面积之间的数学关系。
• 分析当半径 r 趋近于零时，这些量的渐近行为。
• 建立 Minkowski content（缩放体积的极限）存在的条件，特别是与表面积极限的关系。
• 对自相似分形集的平行集行为提供完整刻画。
• 将结果扩展至平稳随机集，包括布朗运动路径。

提出的方法

• 将 r-平行集定义为欧氏空间中与给定集合 A 距离不超过 r 的所有点的集合。
• 使用几何测度论，通过积分几何技术将平行集的体积与表面积联系起来。
• 运用尺度变换方法研究当 r → 0 时体积与表面积的渐近行为。
• 利用自相似性性质，推导出分形集情况下极限的精确表达式。
• 利用随机几何工具分析平稳随机集，特别是布朗运动路径。
• 通过缩放建立表面积极限存在性与 Minkowski content 存在性之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 r → 0 时，r-平行集的缩放表面积在何种条件下收敛？
• RQ2 Minkowski content（缩放体积的极限）的存在性与表面积行为之间有何关系？
• RQ3 自相似分形集的体积与表面积的精确渐近行为是什么？
• RQ4 结果如何推广至平稳随机集，如布朗运动路径？
• RQ5 对于一般集合，Minkowski content 能否用表面积极限来刻画？

主要发现

• r-平行集表面积的缩放极限存在，意味着相应体积极限也存在，即 Minkowski content。
• 对于自相似分形集，完全刻画了体积与表面积的渐近行为，包括显式的尺度律。
• Minkowski content 存在当且仅当缩放表面积有极限，揭示了这两个量之间的深刻联系。
• 结果可推广至平稳随机集，其中布朗运动轨迹是 Minkowski content 被良好定义的关键例子。
• 在较弱的正则性条件下，平行集的渐近体积与表面积在 r → 0 时渐近成比例。
• 本文为利用基于表面积的近似方法估算不规则集的 Minkowski content 提供了理论基础。