[论文解读] A Note on Oracle Separations for BQP

Lijie Chen|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文修正了Aaronson在2010年关于BQP与BPP_path或SZK之间oracle分离的微妙错误，通过更精细的构造方法，挽救了这两种分离。利用新颖的检错位变换，本文建立了新的oracle分离：BQP ⊄ SZK（基于Simon问题）、P^SZK ⊄ QSZK，以及P^SZK ⊄ BPP_path，使函数对SZK和QSZK协议更具抗性。

ABSTRACT

In 2009, using the $ extsf{Fourier Checking}$ problem, Aaronson claimed to construct the relativized worlds such that $ extsf{BQP} ot\subset \mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$. However, there are subtle errors in the original proof. In this paper, we point out the issues, and rescue these two separations by using more sophisticated constructions. Meanwhile, we take the opportunity to study the complexity classes $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{SZK}$. We give general ways to construct functions which are hard for $ extsf{SZK}$ and $\mathsf{BPP_{path}}$ (in the query complexity sense). Using these techniques, we give alternative construction for the oracle separation $ extsf{BQP} ot\subset extsf{SZK}$, using only Simon's problem. We also give new oracle separations for $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $\mathsf{BPP_{path}}$ and $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ from $ extsf{QSK}$. The latter result suggests that $ extsf{P}^{ extsf{SZK}}$ might be strictly larger than $ extsf{SZK}$.

研究动机与目标

• 识别并修正Aaronson在2010年关于BQP与BPP_path或SZK之间oracle分离的证明中的细微错误。
• 提供严谨的替代构造方法，以挽救声称的oracle分离BQP ⊄ BPP_path与BQP ⊄ SZK。
• 在查询复杂度模型中，开发一种通用方法，用于构造对SZK和BPP_path机器困难的函数。
• 建立新的oracle分离，包括P^SZK ⊄ QSZK与P^SZK ⊄ BPP_path，为SZK严格包含于P^SZK提供证据。

提出的方法

• 通过证明BPP_path机器无法完美区分几乎k-wise独立分布，挽救了BQP ⊄ BPP_path的分离，以Forrelation问题作为困难实例。
• 通过改编Aaronson、Ben-David与Kothari的作弊纸构造，挽救了BQP ⊄ SZK的分离，为任意高查询复杂度函数构造检错位版本。
• 从任意具有大R(f)或Q(f)的函数f构造函数f_chk，使得f_chk在查询模型中对SZK与QSZK协议均具有困难性。
• 使用混合论证与柯西-施瓦茨不等式，证明若存在f_chk的QSZK协议，则存在一个使用poly(n)次查询的量子算法，能以非可忽略的成功概率解决f^{⊗ c}，这与已知的下界矛盾。
• 将检错位变换应用于证明P^SZK^O ⊄ QSZK^O，这是QSZK的首个非平凡oracle分离。
• 通过结合检错位构造与一种新方法生成在查询模型中对BPP_path机器困难的问题，建立P^SZK^O ⊄ BPP_path^O。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管原始证明基于k-wise独立性存在错误，是否仍可挽救声称的oracle分离BQP ⊄ BPP_path？
• RQ2 能否使用比Forrelation更简单的构造，通过oracle分离实现BQP ⊄ SZK？
• RQ3 函数f的检错位变换是否在查询复杂度模型中保持对SZK与QSZK协议的困难性？
• RQ4 在oracle世界中，P^SZK是否严格大于QSZK？能否通过非平凡的oracle分离证明这一点？
• RQ5 能否构造一种通用方法，用于在查询复杂度设定中生成对BPP_path机器困难的函数？

主要发现

• 本文通过证明BPP_path机器无法区分几乎k-wise独立分布，挽救了oracle分离BQP ⊄ BPP_path，并表明Forrelation问题在查询模型中对BPP_path是困难的。
• 通过使用Simon问题的新构造，建立了oracle分离BQP ⊄ SZK，为基于Forrelation的证明提供了一种更简单的替代方案。
• 对具有大查询复杂度的函数f进行检错位变换，可产生函数f_chk，该函数在查询模型中对任何SZK或QSZK协议均具有困难性。
• 本文证明了首个非平凡的oracle分离P^SZK^O ⊄ QSZK^O，表明P^SZK严格大于QSZK。
• 本文建立了P^SZK^O ⊄ BPP_path^O，为SZK严格包含于P^SZK提供了证据。
• 本文构建了一种通用方法，用于在查询复杂度模型中生成对BPP_path机器困难的函数，从而实现了新的oracle分离。