[论文解读] A note on plurisubharmonic defining functions in C^2

John Erik Fornæss, Anne-Katrin Herbig|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用 10

一句话总结

本论文证明，若 ℂ² 中一个光滑有界区域存在一个光滑的定义函数，且该函数在其边界上是拟凸的，则 Diederich-Fornæss 指数可被选为任意接近 1，且该区域的闭包 admits 一个 Stein 邻域基。这一结果通过在边界附近利用曲率估计，对定义函数进行加权扰动，构造出改进的拟凸 exhaustion 函数而实现。

ABSTRACT

Let D be a smoothly bounded domain in C^2. Suppose that D admits a smooth defining function which is plurisubharmonic on the boundary of D. Then the Diederich-Fornaess exponent can be chosen arbitrarily close to 1, and the closure of D admits a Stein neighborhood basis.

研究动机与目标

• 研究 ℂ² 中区域的定义函数在边界上拟凸性如何影响其复 Hessian 在边界附近的性质。
• 在伪凸区域中，于边界上定义函数拟凸的附加条件下，改进标准的复 Hessian 下界估计。
• 在该条件下，证明区域及其补集存在严格拟凸的 exhaustion 函数。
• 证明 Diederich-Fornæss 指数可被任意接近 1，且区域的闭包 admits 一个 Stein 邻域基。

提出的方法

• 利用定义函数沿外法向方向的泰勒展开，将边界附近的复 Hessian 表示为边界值与到边界距离的函数。
• 识别出阻碍改进 Hessian 估计的障碍为量 $ NH_{\rho}(L,L) $ 的符号，其中 $ N $ 为外单位法向量，$ L $ 为切向向量场。
• 构造一个新的定义函数 $ r = \rho e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $ 以校正负曲率贡献，确保得到改进的 Hessian 估计。
• 证明对任意 $ \epsilon > 0 $ 和 $ K > 0 $，存在定义函数 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，使得在 $ \overline{\Omega} \cap V $ 上有 $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $，且在补集上也有类似估计。
• 利用改进的 Hessian 估计，构造加权 exhaustion 函数 $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ 和 $ \widetilde{r}_2^\eta $，分别证明当 $ \eta \in (0,1) $ 和 $ \eta > 1 $ 时，它们是严格拟凸的。
• 利用已知的 Diederich-Fornæss 指数与 Stein 邻域基结果，得出主要推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 若一个 ℂ² 中光滑有界伪凸区域存在一个光滑定义函数，且该函数在边界上是拟凸的，那么其 Diederich-Fornæss 指数是否可被任意接近 1？
• RQ2 在边界上存在拟凸定义函数是否意味着区域的闭包 admits 一个 Stein 邻域基？
• RQ3 当定义函数在边界上是拟凸时，其复 Hessian 在边界附近的性质如何？
• RQ4 在该边界拟凸性条件下，能否为区域及其补集构造出严格拟凸的 exhaustion 函数？

主要发现

• 对任意 $ \epsilon > 0 $ 和 $ K > 0 $，存在定义函数 $ r_1 $ 和 $ r_2 $，使得在 $ \overline{\Omega} \cap V $ 上有 $ H_{r_1}(\xi,\xi) \geq \epsilon r_1|\xi|^2 + K|\langle \partial r_1, \xi \rangle|^2 $，且在 $ \overline{\Omega^c} \cap V $ 上有 $ H_{r_2}(\xi,\xi) \geq -\epsilon r_2|\xi|^2 + K|\langle \partial r_2, \xi \rangle|^2 $，其中 $ V $ 为 $ b\Omega $ 的某个邻域。
• 区域 $ \Omega $ 的 Diederich-Fornæss 指数可被选为任意接近 1，这意味着对任意 $ \eta \in (0,1) $，函数 $ -(-\widetilde{r}_1)^\eta $ 在 $ \Omega $ 上是严格拟凸的。
• 对任意 $ \eta > 1 $，存在 $ b\Omega $ 的一个邻域 $ V $ 和一个定义函数 $ \widetilde{r}_2 $，使得 $ \widetilde{r}_2^\eta $ 在 $ V \setminus \overline{\Omega} $ 上是严格拟凸的。
• 区域 $ \Omega $ 的闭包 admits 一个 Stein 邻域基，这意味着 $ b\Omega $ 是一致 H-凸的。
• 阻碍改进 Hessian 估计的障碍由 $ NH_{\rho}(L,L) $ 量化，且可通过定义函数的共形型扰动来校正。
• 改进定义函数的构造依赖于将原定义函数乘以 $ e^{C|H_{\rho}(N,L)|^2} $，该操作有效抵消了边界附近的负曲率贡献。