[论文解读] A Note on Space Tiling Zonotopes

Frank Vallentin|ArXiv.org|Feb 4, 2004

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文通过利用定向拟阵理论，为拟柱体的Voronoi猜想提供了新证明，确立了每个空间密铺拟柱体都仿射等价于某个格的Dirichlet-Voronoi多面体。该方法通过正则拟阵的唯一可实现性，将组合性质与度量性质分离，为Brylawski与Lucas定理在实数情形下提供了几何证明。

ABSTRACT

In 1908 Voronoi conjectured that every convex polytope which tiles space face-to-face by translations is affinely equivalent to the Dirichlet-Voronoi polytope of some lattice. In 1999 Erdahl proved this conjecture for the special case of zonotopes. A zonotope is a projection of a regular cube under some affine transformation. In 1975 McMullen showed several equivalent conditions for a zonotope to be a space tiling zonotope, i.e. a zonotope which admits a face-to-face tiling of space by translations. Implicitly, he related space tiling zonotopes to a special class of oriented matroids (regular matroids). We will extend his result to give a new proof of Voronoi's conjecture for zonotopes using oriented matroids. This enables us to distinguish between combinatorial and metrical properties and to apply the fact that oriented matroids considered here have an essentially unique realization. Originally, this is a theorem due to Brylawski and Lucas. By using oriented matroid duality we interpret a part of McMullen's arguments as an elegant geometric proof of this theorem in the special case of real numbers.

研究动机与目标

• 通过定向拟阵理论，为拟柱体的Voronoi猜想提供新证明。
• 区分空间密铺拟柱体的组合性质与度量性质。
• 基于Brylawski与Lucas的定理，为实数域上正则拟阵的唯一可实现性提供几何证明。
• 避免依赖对偶密铺或格剖分，如Erdahl方法所采用的那样。
• 通过引入拟柱格与基于矩阵的构造，扩展McMullen对拟柱密铺的条件。

提出的方法

• 本文使用定向拟阵术语分析拟柱体，特别关注关联定向拟阵M(X)的余向量与余圈。
• 引入拟柱格(L, (·,·))，其定向拟阵M(L)为正则拟阵，从而与Dirichlet-Voronoi多面体建立联系。
• 证明通过涉及投影与基变换矩阵的矩阵变换，构建给定拟柱体Z(X)与Dirichlet-Voronoi多面体之间的仿射等价性。
• 通过使用正交补空间将向量配置X ∈ ℝ^{d×n}补全为方阵，实现标准矩阵表示。
• 关键构造在于定义矩阵B，使得在自定义内积下，标准基的投影与拟柱体的生成元相匹配。
• 证明利用定向拟阵对偶性，以及正则拟阵在射影等价下具有唯一实现性的事实，从而确立结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过定向拟阵理论而非度量或格剖分方法，证明拟柱体的Voronoi猜想？
• RQ2 如何正式建立拟柱密铺的组合性质与度量性质之间的区分？
• RQ3 是否存在Brylawski与Lucas所声称的、关于实数域上正则拟阵唯一可实现性的几何证明？
• RQ4 能否在不引入对偶密铺或格剖分的情况下，证明拟柱体与Dirichlet-Voronoi多面体之间的等价性？
• RQ5 正则拟阵的唯一实现性在证明空间密铺拟柱体仿射等价于Dirichlet-Voronoi多面体的过程中起到何种作用？

主要发现

• 每个空间密铺拟柱体都仿射等价于某个格的Dirichlet-Voronoi多面体，从而证实了拟柱体的Voronoi猜想。
• 拟柱格的定向拟阵是正则拟阵，且此类拟阵在射影等价下具有唯一实现性。
• 该证明为Brylawski-Lucas定理在实数域实现情形下提供了几何解释，利用矩阵投影与基变换变换。
• 该构造避免了对偶密铺与格剖分，相较于Erdahl的方法，提供了更直接且组合透明的证明。
• 通过将拟柱体的生成元与自定义内积下标准基的投影对齐的矩阵变换，建立了拟柱密铺与Dirichlet-Voronoi多面体之间的等价性。
• 本文确立了拟柱的面格与关联定向拟阵的余向量集之间存在反序序同构，从而实现了对密铺性质的组合表征。