[论文解读] A note on Stirling permutations

Ira M. Gessel|arXiv (Cornell University)|May 8, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文通过引入 r-排列框架和基于树的分解，推广了 Riordan 与 Donaghey 将 Stirling 排列与 Eulerian 多项式联系起来的恒等式。它推导出一个函数微分方程，并建立了当 r > s 时，r-排列与 s-排列的生成函数之间的关键复合关系，通过 r-树与 s-骨架将 Foata 与 Strehl 的结果推广至高阶排列。

ABSTRACT

In this note we generalize an identity of John Riordan and Robert Donaghey relating the enumerator for Stirling permutations to the Eulerian polynomials.

研究动机与目标

• 将 Riordan 与 Donaghey 的恒等式（关联 Stirling 排列与 Eulerian 多项式）推广至更高阶的 r-排列。
• 构建基于树的组合模型（r-树），以编码 r-排列及其下降结构。
• 建立 r-排列的指数生成函数与 s-排列的指数生成函数之间的函数方程，其中 s < r。
• 通过 r-树的 s-骨架构造，将 Foata 与 Strehl 的下降分析推广至 r-排列。
• 为研究具有重复元素的多重集排列中的下降统计量提供统一框架。

提出的方法

• 将 r-排列定义为多重集 {1^r, 2^r, ..., n^r} 的排列，满足 Stirling 条件：若 i < j < k 且 a_i = a_k，则 a_j ≥ a_i。
• 将下降数 d(π) 定义为满足 a_i > a_{i+1} 的位置 i 的数量，并在非空序列末尾增加一个额外的下降。
• 构造指数生成函数 A^{(r)}(z) = ∑_{n≥0} A_n^{(r)}(t) z^n / n!，其中 A_n^{(r)}(t) 是 Q_n^{(r)} 中下降的生成多项式。
• 通过移除每个符号的首次出现来分解 r-排列，得到 r+1 个 r-排列，从而推导出 A^{(r)}(z) 的微分方程。
• 将每个 r-排列表示为 (r+1)-叉递增树 T(π)，其中下降对应于其最后一个孩子为空的节点。
• 定义 r-树的 s-骨架为通过删除每个节点的前 r−s 个孩子所形成的 s-树，该构造在骨架与被删除子树之间保持下降数不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 Riordan 与 Donaghey 的 Stirling 排列恒等式如何推广至 r > 2 的 r-排列？
• RQ2 当 s < r 时，指数生成函数 A^{(r)}(z) 与 A^{(s)}(z) 之间的函数关系是什么？
• RQ3 如何利用树表示来编码与分析 r-排列的下降结构？
• RQ4 r-树的 s-骨架在何种方式下保持原始 r-排列的下降数？
• RQ5 基于树的分解能否用于将 Foata 与 Strehl 关于 Eulerian 多项式的结果推广至高阶排列？

主要发现

• 本文建立了函数方程 A^{(r)}(z) = A^{(s)}( ∫[A^{(r)}(z)]^{r−s} dz )，其中积分从 0 到 z，且应用了函数复合。
• 当 r = 2 且 s = 1 时，该式退化为 Riordan 与 Donaghey 的原始恒等式，验证了与先前结果的一致性。
• r-排列 π 的下降数等于其 s-骨架与被删除子树中下降数之和，从而实现递归下降计数。
• r-排列 π 的树表示 T(π) 是一个 (r+1)-叉递增树，其中下降对应于最后一个孩子为空的节点。
• 通过将 r-排列分解为 r+1 个 r-排列，推导出微分方程 d/dz A^{(r)}(z) = [A^{(r)}(z)]^r [A^{(r)}(z) − 1] + t [A^{(r)}(z)]^r。
• 生成函数 A^{(0)}(z) = 1 + t(e^z − 1) 对应于 0-排列（即普通排列）的情形，确认了该框架的基例。