[论文解读] A note on the Frobenius-Euler numbers and polynomials associated with Bernstein polynomials

Serkan Aracı, Mehmet Açıkgöz|arXiv (Cornell University)|May 30, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 150

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{Z}_p$ 上使用费米onic $p$-adic 积分，建立了弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式与伯恩斯坦多项式之间的新联系。通过生成函数和 $p$-adic 积分表示，作者推导出将不同次数的伯恩斯坦多项式与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数关联起来的显式积分公式，从而得到涉及这些特殊数与多项式的新型组合恒等式和闭式表达式。

ABSTRACT

The present paper deals with Bernstein polynomials and Frobenius-Euler numbers and polynomials. We apply the method of generating function and fermionic p-adic integral representation on Zp, which are exploited to derive further classes of Bernstein polynomials and Frobenius-Euler numbers and polynomials. To be more precise we summarize our results as follows, we obtain some combinatorial relations between Frobenius-Euler numbers and polynomials. Furthermore, we derive an integral representation of Bernstein polynomials of degree n on Zp . Also we deduce a fermionic p-adic integral representation of product Bernstein polynomials of different degrees n1, n2,...on Zp and show that it can be written with Frobenius-Euler numbers which yields a deeper insight into the effectiveness of this type of generalizations. Our applications possess a number of interesting properties which we state in this paper.

研究动机与目标

• 通过 $p$-adic 分析研究伯恩斯坦多项式与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数之间的相互作用。
• 通过 $\mathbb{Z}_p$ 上的费米onic $p$-adic 积分，推导伯恩斯坦多项式的积分表示。
• 将这些结果推广至不同次数的伯恩斯坦多项式乘积。
• 通过 $p$-adic 积分技术，建立涉及弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数的新型组合恒等式。
• 为广义伯恩斯坦与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式系统提供更深层次的结构理解。

提出的方法

• 采用在 $\mathbb{Z}_p$ 上定义的费米onic $p$-adic 积分表示：$I_{-1}(f) = \int_{\mathbb{Z}_p} f(\xi) d\mu_{-1}(\xi)$。
• 使用弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式的生成函数：$\sum_{n=0}^\infty H_n(u,x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1-u}{e^t - u} e^{xt}$。
• 应用符号记法的 umbral 微积分约定 $H^n(u) := H_n(u)$ 以简化多项式表达式。
• 通过展开 $\int_{\mathbb{Z}_p} u^\eta (x + \eta)^n d\mu_{-1}(\eta)$ 并与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式匹配，推导积分恒等式。
• 通过多项式展开与 $p$-adic 积分，将结果扩展至不同次数 $n_1, n_2, \dots, n_s$ 的伯恩斯坦多项式乘积。
• 利用弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式的对称性质，如 $H_n(-u^{-1}, 1 - x) = (-1)^n H_n(-u^{-1}, x)$，以简化表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用费米onic $p$-adic 积分将伯恩斯坦多项式与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数及多项式联系起来？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}_p$ 上，不同次数的伯恩斯坦多项式乘积是否存在积分表示？
• RQ3 能否通过 $p$-adic 方法推导出弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数与伯恩斯坦多项式之间的组合恒等式？
• RQ4 涉及弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数的伯恩斯坦多项式乘积的 $p$-adic 积分，会涌现出哪些闭式表达式？
• RQ5 弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式的对称性质如何增强这些恒等式的推导？

主要发现

• 在 $\mathbb{Z}_p$ 上对 $u^\eta (x + \eta)^n$ 的费米onic $p$-adic 积分结果为 $\frac{2}{u+1} H_n(-u^{-1}, x)$，直接将 $p$-adic 积分与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特多项式联系起来。
• 当 $k=0$ 时，$s$ 个不同次数 $n_1, \dots, n_s$ 的伯恩斯坦多项式乘积的 $p$-adic 积分为 $\frac{2}{u+1} + \frac{2}{u^2 + u} + \frac{2}{u^3 + u} H_{n_1+\cdots+n_s}(-u^{-1})$，显示出以弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数表示的闭式表达式。
• 当 $k \neq 0$ 时，$s$ 个伯恩斯坦多项式乘积的积分表示为包含二项式系数与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数的嵌套和：$\prod_{i=1}^s \binom{n_i}{k} \sum_{l=0}^{sk} \binom{sk}{l} (-1)^{sk+l} \left( \frac{2}{u+1} + \frac{2}{u^2+u} + \frac{2}{u^3+u} H_{n_1+\cdots+n_s - l}(-u^{-1}) \right)$。
• 建立了一个关键恒等式：当 $k=0$ 时，$u^2 \sum_{l=0}^{n_1+\cdots+n_s - sk} \binom{\sum (n_d - k)}{l} (-1)^l H_{sk+l}(-u^{-1}) = u^2 + u + H_{n_1+\cdots+n_s}(-u^{-1})$，将弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数的和与一个简单多项式表达式联系起来。
• 当 $k \neq 0$ 时，和式 $\sum_{l=0}^{sk} \binom{sk}{l} (-1)^{sk+l} (u^2 + u + H_{n_1+\cdots+n_s - l}(-u^{-1}))$ 被证明等于 $s$ 个次数为 $k$ 的伯恩斯坦多项式乘积的 $p$-adic 积分，从而给出一个涉及 $p$-adic 积分与弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数的新恒等式。
• 结果表明，伯恩斯坦多项式乘积的 $p$-adic 积分表示可完全用弗罗贝尼乌斯-赫尔米特数表达，揭示了这两类特殊函数之间深刻的结构联系。