[论文解读] A note on the maximum of the Riemann zeta function, and log-correlated random variables

Adam J. Harper|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2013

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用 18

一句话总结

本论文提出了一种随机欧拉乘积模型，用于研究临界线上黎曼ζ函数的最大值，表明该模型中的对数相关性可导致对高斯随机变量上确界的严格分析。关键结果证实了Fyodorov与Keating关于$\max_{T \leq t \leq T+2\pi} |\zeta(1/2+it)|$典型大小的猜想，结果为$\exp(\log\log T - \frac{3}{4}\log\log\log T + O_\epsilon(1))$，前提是黎曼假设成立。

ABSTRACT

In recent work, Fyodorov and Keating conjectured the maximum size of $|ζ(1/2+it)|$ in a typical interval of length O(1) on the critical line. They did this by modelling the zeta function by the characteristic polynomial of a random matrix; relating the random matrix problem to another problem from statistical mechanics; and applying a heuristic analysis of that problem. In this note we recover a conjecture like that of Fyodorov and Keating, but using a different model for $|ζ(1/2+it)|$ in terms of a random Euler product. In this case the probabilistic model reduces to studying the supremum of Gaussian random variables with logarithmic correlations, and can be analysed rigorously.

研究动机与目标

• 为长度为$2\pi$的短区间上$|\zeta(1/2+it)|$的最大值提供一个严格的概率模型。
• 通过随机欧拉乘积分析$\log|\zeta(1/2+it)|$的行为，替代先前工作中使用的随机矩阵模型。
• 证明ζ函数在短区间上的最大值与随机矩阵理论推导出的猜想渐近增长速率一致。
• 建立ζ函数极值与具有对数相关性的高斯过程上确界之间的联系。
• 提出一种新的、分析上易于处理的模型，支持Fyodorov–Keating猜想，且不依赖于启发式统计力学论证。

提出的方法

• 将Soundararajan对$\log|\zeta(1/2+it)|$的上界估计方法应用于截断欧拉乘积，以获得确定性逼近。
• 将$\log|\zeta(1/2+it)|$建模为对所有满足$p \leq T$的素数求和：$\Re(\frac{1}{p^{1/2+it}} \frac{\log(T/p)}{\log T})$，并将$p^{it}$视为单位圆上的独立均匀随机变量。
• 将所得随机过程分析为具有对数协方差结构的复高斯随机变量之和。
• 应用Stein方法进行正态近似，以控制该过程上确界被对数相关高斯场近似时的误差。
• 通过与高斯向量$Z$的三步耦合论证，控制过程$Y_h$最大值的尾部行为。
• 应用涉及三阶导数与增量方差的多变量Stein界，推导出分布收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过随机欧拉乘积模型严格支持Fyodorov–Keating关于短区间上$|\zeta(1/2+it)|$最大值的猜想？
• RQ2 该随机欧拉乘积模型在捕捉ζ函数极值方面，与随机矩阵模型相比如何？
• RQ3 在黎曼假设下，$\max_{T \leq t \leq T+2\pi} |\zeta(1/2+it)|$的精确渐近行为是什么？
• RQ4 能否使用对数相关高斯过程的上确界来建模并界定ζ函数在短区间上的最大值？
• RQ5 $O_\epsilon(1)$误差项在猜想的增长率中起什么作用？其对$\epsilon$的依赖关系如何？

主要发现

• 随机欧拉乘积模型导致对长度为$2\pi$的区间上$|\zeta(1/2+it)|$最大值的严格分析，证实了Fyodorov–Keating猜想，误差项为$O_\epsilon(1)$。
• 该模型表明，除了测度至多为$0.01\pi$的集合外，$\log|\zeta(1/2+it)|$可被$\sum_{p \leq T} \Re(\frac{1}{p^{1/2+it}} \frac{\log(T/p)}{\log T})$良好逼近。
• 对于大区间内几乎所有$T$（除外测度为$\epsilon T$的集合），ζ函数在短区间上的最大值渐近为$\exp(\log\log T - \frac{3}{4}\log\log\log T + O_\epsilon(1))$。
• 该模型的概率结构可简化为研究具有对数相关性的高斯过程的上确界，该过程可借助Stein方法严格分析。
• 通过包含三阶导数与方差项显式依赖关系的多变量Stein界，界定了最大值正态近似中的误差。
• 分析证实，随机欧拉乘积模型产生的渐近行为与随机矩阵模型一致，为该猜想提供了独立支持。