[论文解读] A note on traces of set families

Balázs Patkós|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文建立了对 $(n-l')$-trace $k$-Sperner 家族大小的渐近紧上界，证明此类家族的大小至多为 $(k - l' + o(1))inom{n}{ floor n/2 floor}$。该结果通过极值集合论技术，特别是对避免紧密路径的家族的界以及与禁止子格问题的联系，渐近地证实了该猜想。

ABSTRACT

A family of sets $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ is defined to be $l$-trace $k$-Sperner if for any $l$-subset $L$ of $[n]$ the family of traces $\mathcal{F}|_L=\{F \cap L: F \in \mathcal{F}\}$ does not contain any chain of length $k+1$. In this paper we prove that for any positive integers $l',k$ with $l'

研究动机与目标

• 解决关于固定 $k$ 和 $l'$（满足 $l' < k$）时，$(n-l')$-trace $k$-Sperner 家族最大大小的猜想。
• 在中心二项式系数的术语下，建立此类家族大小的渐近紧上界。
• 将迹问题与禁止子格问题联系起来，特别是布尔格中紧密路径的问题。
• 推广先前关于迹家族的结果，并将其扩展到所有满足 $l' < k$ 的 $k$ 和 $l'$ 范围。
• 提供一个理解在大子集上迹中避免长链的家族结构的框架。

提出的方法

• 使用 Bukh 的禁止子格定理来界定避免长度为 $l'$ 的紧密路径的家族的大小。
• 对 $l'$ 使用归纳法，通过阴影论证来界定在第 $i$ 层中不包含长度为 $l'$ 的紧密路径的家族的大小。
• 采用修改后的阴影构造来识别路径中的重叠集合，并在存在过多集合时导出矛盾。
• 应用集中不等式，表明位于中心 $n^{2/3}$ 层之外的家族对总大小的贡献可忽略不计。
• 结合 $f(n,l',n-l')$ 和 $f(n,k,n-l')$ 的结果，通过递归不等式推导出主界。
• 利用 $|\{X : ||X| - n/2| \geq n^{2/3}\}| = o(\frac{1}{n}\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$ 的事实，将注意力限制在中心层。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $k$ 和 $l'$（满足 $l' < k$），满足 $(n-l')$-trace $k$-Sperner 的家族 $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ 的最大大小是多少？
• RQ2 猜想的界 $f(n,k,n-l') = \sum_{i=1}^{k-l'}\binom{n}{\lfloor \frac{n - (k-l')}{2} + i \rfloor}$ 是否渐近紧？
• RQ3 能否使用禁止子格技术（特别是涉及紧密路径）来界定此类迹家族的极值大小？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，$f(n,k,n-l')$ 的渐近行为如何，对于固定的 $k$ 和 $l'$？
• RQ5 当 $k \leq l'$ 时，$f(n,k,n-l')$ 的正确渐近阶是多少？其是否遵循 $n$ 的幂律衰减？

主要发现

• $(n-l')$-trace $k$-Sperner 家族的最大大小满足 $|\mathcal{F}| \leq (k - l' + o(1))\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor}$，该界是渐近紧的。
• 该界由在 $n/2$ 附近中心对称的 $k - l'$ 个连续层的并集实现，证实了猜想所预测的结构。
• 该结果渐近地证实了所有满足 $l' < k$ 的 $k$ 和 $l'$ 的猜想 1.1，扩展了此前对 $l'=1, k=2$ 的结果。
• $f(n,l',n-l')$ 的大小被限制在 $O_{l'}(n^{-1/3}\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$，提示可能进一步改进为 $O_{l'}(n^{-1}\binom{n}{\lfloor n/2\rfloor})$。
• 证明依赖于对避免长度为 $l'$ 的紧密路径的家族的界定，使用归纳阴影论证和测度集中性。
• 该结果表明，避免在大迹中出现长链的迹家族在结构上受到约束，其大小不能超过中心二项式系数的常数倍。