[论文解读] A Novel Algebraic Geometry Compiling Framework for Adiabatic Quantum Computations

Raouf Dridi, Hedayat Alghassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于代数几何的新型框架，用于将多项式整数优化问题编译为绝热量子计算（AQC）工作负载。该框架通过在环面理想上计算格罗布纳基，系统地将高次多项式问题约化为QUBO形式，利用纤维丛和不变坐标技术实现可行的微小嵌入，并对能隙进行解析建模——这是首个通用的、算法化的AQC编译器，适用于量子编译器设计与伊辛架构合成。

ABSTRACT

Adiabatic Quantum Computing (AQC) is an attractive paradigm for solving hard integer polynomial optimization problems. Available hardware restricts the Hamiltonians to be of a structure that allows only pairwise interactions. This requires that the original optimization problem to be first converted -- from its polynomial form -- to a quadratic unconstrained binary optimization (QUBO) problem, which we frame as a problem in algebraic geometry. Additionally, the hardware graph where such a QUBO-Hamiltonian needs to be embedded -- assigning variables of the problem to the qubits of the physical optimizer -- is not a complete graph, but rather one with limited connectivity. This "problem graph to hardware graph" embedding can also be framed as a problem of computing a Groebner basis of a certain specially constructed polynomial ideal. We develop a systematic computational approach to prepare a given polynomial optimization problem for AQC in three steps. The first step reduces an input polynomial optimization problem into a QUBO through the computation of the Groebner basis of a toric ideal generated from the monomials of the input objective function. The second step computes feasible embeddings. The third step computes the spectral gap of the adiabatic Hamiltonian associated to a given embedding. These steps are applicable well beyond the integer polynomial optimization problem. Our paper provides the first general purpose computational procedure that can be used directly as a $translator$ to solve polynomial integer optimization. Alternatively, it can be used as a test-bed (with small size problems) to help design efficient heuristic quantum compilers by studying various choices of reductions and embeddings in a systematic and comprehensive manner. An added benefit of our framework is in designing Ising architectures through the study of $\mathcal Y-$minor universal graphs.

研究动机与目标

• 解决在硬件约束下将一般多项式整数优化问题编译为绝热量子计算（AQC）工作负载的挑战。
• 克服当前AQC硬件的局限性，即仅支持成对耦合，且连通性图谱稀疏、非完全连通。
• 开发一种系统化、算法化的翻译器，集成QUBO约化、嵌入计算与能隙分析，用于AQC编译。
• 通过代数几何方法识别$\mathcal{Y}$-微小嵌入通用图，实现伊辛量子架构的原理化设计。
• 为评估启发式量子编译器提供测试平台，支持对小型问题的嵌入与约化进行详尽研究。

提出的方法

• 通过计算由目标函数单项式生成的环面理想的格罗布纳基，将多项式优化问题约化为QUBO。
• 将问题图到硬件图的嵌入建模为由纤维丛结构与不变坐标导出的多项式方程组。
• 使用带消去序的格罗布纳基计算，确定可行嵌入并识别$\mathcal{Y}$-微小嵌入通用图。
• 将绝热哈密顿量的能隙表示为嵌入簇点的函数，实现对嵌入选择的解析依赖。
• 应用经典不变量理论与代数几何工具，在不显式求解方程的情况下统计嵌入数量。
• 将所有步骤整合为统一框架，支持完整编译与启发式量子编译器的实验测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数几何系统地将多项式整数优化问题约化为QUBO形式？
• RQ2 格罗布纳基在从问题图到硬件图的可行微小嵌入计算中起什么作用？
• RQ3 绝热哈密顿量的能隙如何与嵌入簇的结构解析关联？
• RQ4 在给定问题图族$\mathcal{Y}$下，$\mathcal{Y}$-微小嵌入通用图存在的条件是什么？
• RQ5 该框架如何作为评估与设计启发式量子编译器的测试平台？

主要发现

• 该框架首次提供了将多项式整数优化问题编译为AQC工作负载的通用、算法化翻译器。
• 通过在环面理想上计算格罗布纳基，实现了多项式问题到QUBO的约化，确保了系统化与原则化的转换。
• 通过求解由纤维丛与对称性约束导出的多项式方程组，计算出可行的微小嵌入，其解以格罗布纳基形式编码。
• 绝热哈密顿量的能隙与嵌入簇的结构存在解析依赖关系，支持对不同嵌入选择的性能预测。
• 若嵌入系统约化的格罗布纳基中不包含1，则$\mathcal{Y}$-微小嵌入通用图存在，且所有此类图与嵌入均可从该基中恢复。
• 该框架通过识别支持给定族$\mathcal{Y}$中所有图作为微小嵌入的硬件图，实现了伊辛架构的设计，且通过代数约束实现显式构造。