[论文解读] A numerical methodology for enforcing maximum principles and the non-negative constraint for transient diffusion equations

K. B. Nakshatrala, Harsha Nagarajan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于横线法（Rothe方法）的新数值方法，用于在瞬态各向异性扩散方程中强制执行最大值原理和非负约束。通过首先进行时间半离散化，并利用凸二次规划求解每个时间层的稳态各向异性扩散-衰减问题，该方法在一般非结构化网格上确保了物理一致的非负解，且无需时间步长限制，优于标准有限元格式，后者会违反这些基本数学性质。

ABSTRACT

Transient diffusion equations arise in many branches of engineering and applied sciences (e.g., heat transfer and mass transfer), and are parabolic partial differential equations. It is well-known that, under certain assumptions on the input data, these equations satisfy important mathematical properties like maximum principles and the non-negative constraint, which have implications in mathematical modeling. However, existing numerical formulations for these types of equations do not, in general, satisfy maximum principles and the non-negative constraint. In this paper, we present a methodology for enforcing maximum principles and the non-negative constraint for transient anisotropic diffusion equation. The method of horizontal lines (also known as the Rothe method) is applied in which the time is discretized first. This results in solving steady anisotropic diffusion equation with decay equation at every discrete time level. The proposed methodology for transient anisotropic diffusion equation will satisfy maximum principles and the non-negative constraint on general computational grids, and with no additional restrictions on the time step. We illustrate the performance and accuracy of the proposed formulation using representative numerical examples. We also perform numerical convergence of the proposed methodology. For comparison, we also present the results from the standard single-field semi-discrete formulation and the results from a popular software package, which all will violate maximum principles and the non-negative constraint.

研究动机与目标

• 解决标准数值格式在瞬态扩散方程中缺乏最大值原理和非负约束满足的问题。
• 开发一种确保瞬态各向异性扩散问题物理一致、非负解的方法。
• 消除有限元方法中为保持非负性而通常需要的严格时间步长限制。
• 提供一种鲁棒、与网格无关的公式，适用于一般非结构化网格。
• 展示所提方法在保持数学和物理约束方面优于标准半离散格式和商业软件的优越性。

提出的方法

• 该方法首先应用横线法（Rothe方法）进行时间离散化，将抛物型PDE转化为每个时间层上的稳态各向异性扩散-衰减问题序列。
• 在每个时间步，通过凸二次规划公式求解得到的稳态问题，以强制执行非负约束和最大值原理。
• 空间离散化应用于一般非结构化计算网格，无需对网格质量（如锐角三角形）提出要求。
• 时间离散化在加权时间层（t_{n+γ}）上进行，通过插值实现对整数时间层解的稳定且精确的重构。
• 通过在第一步使用向后欧拉格式（γ=1）实现自启动策略，以克服加权公式的非自启动特性。
• 该方法确保离散系统右侧保持非负，这是保持解中非负约束的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种数值格式，使其在一般非结构化网格上强制执行瞬态各向异性扩散方程的非负约束和最大值原理？
• RQ2 所提方法是否能消除标准有限元格式中为保持非负性而通常需要的严格时间步长限制？
• RQ3 与标准单场半离散格式和商业软件相比，所提基于优化的格式在保持物理约束方面的性能如何？
• RQ4 该方法是否能在不依赖网格质量条件（如锐角三角形）的情况下保持稳定性和准确性？
• RQ5 该方法是否适用于具有复杂几何形状和异质、各向异性扩散系数的问题？

主要发现

• 所提方法成功在一般非结构化网格上强制执行了瞬态各向异性扩散方程的非负约束和最大值原理，而标准有限元格式则无法做到这一点。
• 该方法无需时间步长限制即可保持非负性，从而可在不违反物理约束的情况下采用更大的时间步长。
• 数值算例表明，所提格式在各种测试案例中（包括各向异性和异质性扩散系数的情况）均保持了准确性和稳定性。
• 该方法优于标准半离散有限元格式和一款流行的商业软件包，后者均违反了非负约束和最大值原理。
• 凸二次规划方法确保了在每个时间步离散系统保持适定且具有物理意义，即使右侧为负时亦如此。
• 基于加权时间层的插值方案可实现对整数时间层解的精确重构，当与第一步的向后欧拉格式结合时，该方法具备自启动能力。