[论文解读] A PICARD-S HYBRID TYPE ITERATION METHOD FOR SOLVING A DIFFERENTIAL EQUATION WITH RETARDED ARGUMENT

Vatan Karakaya|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 37被引用 36

一句话总结

本文提出了一种名为Picard-S的新型迭代方法，用于逼近压缩映射的不动点。该方法证明其收敛速度优于Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S及其他现有迭代方法，并证明了其在收敛速度上的等价性与优越性。该方法进一步应用于求解具有滞后参数的微分方程，并给出了基于不动点的数值依赖性结果。

ABSTRACT

We introduce a new iteration method what is called Picard-S itera- tion. We show that the Picard-S iteration method can be used to approximate fixed point of contraction mappings. Also, we show that our new iteration method is equivalent and converges faster than CR iteration method for the aforementioned class of mappings. Furthermore, by providing an example, it is shown that the Picard-S iteration method converges faster than all of Picard, Mann, Ishikawa, Noor, SP, CR, S and some other iteration methods in the existing literature when applied to contraction mappings. A data dependence result is proven for fixed point of contraction mappings with help of the new iteration method. Finally, we show that the Picard-S iteration method can be used to solve differential equations with retarded argument.

研究动机与目标

• 开发一种新的迭代方法——Picard-S，用于逼近压缩映射的不动点。
• 建立理论收敛性，并将其收敛速率与现有迭代格式进行比较。
• 展示该方法在求解具有滞后参数的微分方程中的适用性。
• 通过新迭代框架证明不动点的数值依赖性结果。
• 通过数值比较验证Picard-S在已知迭代方法中的优越性。

提出的方法

• Picard-S迭代被定义为一种混合型迭代格式，结合了Picard迭代与S迭代的特性。
• 该方法应用于完备度量空间中的压缩映射，确保收敛至唯一不动点。
• 通过标准压缩映射原理与比较技术进行收敛性分析。
• 通过数值方法评估并比较该方法与Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S及其他已知迭代方法的收敛速度。
• 通过分析小扰动下不动点的稳定性，推导出该方法的数值依赖性结果。
• 通过将微分方程转化为不动点问题，将该方法应用于求解具有滞后参数的微分方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明Picard-S迭代方法收敛于压缩映射的不动点？
• RQ2 与Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR和S等现有迭代格式相比，Picard-S方法的收敛速率如何？
• RQ3 当应用于压缩映射时，Picard-S迭代方法是否在所有提及的格式中表现出最快收敛速度？
• RQ4 能否使用Picard-S迭代方法求解具有滞后参数的微分方程？
• RQ5 通过Picard-S迭代计算时，不动点在扰动下的数值依赖性行为如何？

主要发现

• Picard-S迭代方法在完备度量空间中收敛于压缩映射的不动点。
• 对于压缩映射，Picard-S迭代的收敛速度优于CR迭代方法。
• 数值证据表明，Picard-S迭代的收敛速度优于Picard、Mann、Ishikawa、Noor、SP、CR、S及其他多种已知迭代方法。
• 建立了数值依赖性结果，表明通过Picard-S迭代计算时，不动点在小扰动下具有稳定性。
• 该方法成功应用于求解具有滞后参数的微分方程，方法是将其转化为不动点问题。
• 证明了Picard-S迭代在收敛性上与CR迭代等价，但在收敛速率上更优。