[论文解读] A Pick function related to the sequence of volumes of the unit ball in n-space

Christian Berg, H. Pedersen|ArXiv.org|Dec 11, 2009

Mathematics and Applications参考文献 16被引用 5

一句话总结

该论文证明了函数 $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ 在 $ a \geq 1 $ 时为 Pick 函数，通过复分析与留数理论推导出其积分表示。此外，还证明了 $ \ln f(x+1) $（其中 $ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $）为 Stieltjes 函数，意味着 $ f(x+1) $ 完全单调，且 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ 构成 Hausdorff 矩阵序列。

ABSTRACT

We show that F_a(x)=\frac{\ln Γ(x+1)}{x\ln(ax)} is a Pick function for a\ge 1 and find its integral representation. We also consider the function f(x)=(\frac{π^{x/2}}{Γ(1+x/2)})^{1/(x\ln x)} and show that \ln f(x+1) is a Stieltjes function and that f(x+1) is completely monotonic on (0,\infty). In particular f(n)=Ω_n^{1/(n\ln n)},n\ge 2 is a Hausdorff moment sequence. Here Ω_n is the volume of the unit ball in Euclidean n-space

研究动机与目标

• 建立 $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ 在 $ a \geq 1 $ 时为 Pick 函数，扩展关于 $ n $ 维空间中单位球体积单调性的已知结果。
• 在割平面 $ \mathcal{A} = \mathbb{C} \setminus ]-\infty, 0] $ 上，利用留数理论与解析延拓，推导出 $ F_a(z) $ 的显式积分表示。
• 分析函数 $ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $，证明 $ \ln f(x+1) $ 为 Stieltjes 函数，且 $ f(x+1) $ 在 $ (0, \infty) $ 上完全单调。
• 证明序列 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ 为 Hausdorff 矩阵序列，将几何体积与经典分析联系起来。

提出的方法

• 使用复分析将 $ F_a(x) $ 延拓为割平面 $ \mathcal{A} $ 上的亚纯函数，识别其极点与奇点。
• 应用留数定理，推导出积分表示 $ F_a(z) = 1 + \frac{\ln\Gamma(1+1/a)}{z - 1/a} - \int_0^\infty \frac{d_a(t)}{z + t} dt $，其中 $ d_a(t) $ 在区间 $ ]k-1, k[ $ 上分段定义。
• 利用已知的 Stieltjes 变换与伽马函数的对数导数，推导 $ \log f(z+1) $ 的积分表示。
• 通过结合关于 $ 1/\operatorname{Log}(z+1) $ 的已知结果与 $ F_2 $ 的表示，证明 $ \log f(z+1) $ 为 Stieltjes 函数，从而得出 $ f(x+1) $ 的完全单调性。
• 通过留数微积分建立 $ G_a(z) = 1/F_a(z) $ 的积分表示，证明当 $ a \geq 1 $ 时 $ G_a(z) $ 为 Stieltjes 函数。
• 分析密度函数 $ d_a(t) $ 与 $ \rho_a(t) $ 的非负性，确定临界值 $ a_0 \approx 0.368 $，低于此值时正性不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ a \geq 0 $ 值，函数 $ F_a(x) = \frac{\ln\Gamma(x+1)}{x\ln(ax)} $ 在 $ (0, \infty) $ 上为 Pick 函数？
• RQ2 在割平面 $ \mathcal{A} $ 上，$ F_a(z) $ 的积分表示为何？其关联测度的结构如何？
• RQ3 函数 $ f(x) = \left( \frac{\pi^{x/2}}{\Gamma(1+x/2)} \right)^{1/(x\ln x)} $ 是否满足 $ f(x+1) $ 在 $ (0, \infty) $ 上完全单调？
• RQ4 序列 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $（其中 $ \Omega_n $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 中单位球的体积）是否构成 Hausdorff 矩阵序列？
• RQ5 使得 $ F_a $ 的积分表示中密度 $ d_a(t) $ 非负的 $ a $ 的下确界为何？

主要发现

• 当 $ a \geq 1 $ 时，函数 $ F_a(x) $ 为 Pick 函数，其积分表示为 $ F_a(z) = 1 + \frac{\ln\Gamma(1+1/a)}{z - 1/a} - \int_0^\infty \frac{d_a(t)}{z + t} dt $，其中 $ d_a(t) \geq 0 $ 对所有 $ a \geq 1 $ 和 $ t > 0 $ 成立。
• 当 $ a \geq 1 $ 时，$ F_a(x) $ 在 $ ]1/a, \infty[ $ 上严格递增且严格凹，证实了关于体积序列单调性的猜想。
• $ \ln f(x+1) $ 为 Stieltjes 函数，且 $ f(x+1) $ 在 $ (0, \infty) $ 上完全单调，且满足 $ \lim_{x \to \infty} f(x+1) = e^{-1/2} $。
• 序列 $ f(n+2) = \Omega_{n+2}^{1/((n+2)\ln(n+2))} $ 为 Hausdorff 矩阵序列，因为 $ f(x+1) $ 完全单调。
• 临界值 $ a_0 \approx 0.3681154742 $ 是使得对所有 $ t \geq 0 $ 有 $ d_a(t) \geq 0 $ 的 $ a $ 的下确界，且当 $ t \to k \in \mathbb{N} $ 时 $ d_a(t) \to \infty $。
• $ G_a(z) = 1/F_a(z) $ 具有积分表示 $ G_a(z) = 1 + \frac{\ln a}{(1 - \gamma)(z - 1)} + \int_0^\infty \frac{\rho_a(t)}{z + t} dt $，其中当 $ a \geq a_0 $ 时 $ \rho_a(t) \geq 0 $，且当 $ a \geq 1 $ 时 $ G_a(x+1) $ 为 Stieltjes 函数。