[论文解读] A polarized view of string topology

Ralph L. Cohen, Véronique Godin|ArXiv.org|Feb 28, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 47

一句话总结

本文为几乎复流形的自由循环空间引入了'极化Atiyah对偶'，从而构建了一个广义同调理论，支持完整的二维拓扑量子场论（TQFT）结构，包括闭曲面的弦拓扑运算。研究显示，循环空间的标准同调构成一个无余单位的单位元、交换的Frobenius代数，对应于正边界TQFT；并通过循环空间切丛的过滤构造了一个pro-谱，以克服通过标准方法定义余单位的障碍。

ABSTRACT

Let M be a closed, connected manifold, and LM its loop space. In this paper we describe closed string topology operations in h_*(LM), where h_* is a generalized homology theory that supports an orientation of M. We will show that these operations give h_*(LM) the structure of a unital, commutative Frobenius algebra without a counit. Equivalently they describe a positive boundary, two dimensional topological quantum field theory associated to h_*(LM). This implies that there are operations corresponding to any surface with p incoming and q outgoing boundary components, so long as q >0. The absence of a counit follows from the nonexistence of an operation associated to the disk, D^2, viewed as a cobordism from the circle to the empty set. We will study homological obstructions to constructing such an operation, and show that in order for such an operation to exist, one must take h_*(LM) to be an appropriate homological pro-object associated to the loop space. Motivated by this, we introduce a prospectrum associated to LM when M has an almost complex structure. Given such a manifold its loop space has a canonical polarization of its tangent bundle, which is the fundamental feature needed to define this prospectrum. We refer to this as the "polarized Atiyah - dual" of LM . An appropriate homology theory applied to this prospectrum would be a candidate for a theory that supports string topology operations associated to any surface, including closed surfaces.

研究动机与目标

• 通过克服标准循环空间同调中余单位缺失的障碍，构建一个支持所有曲面（包括闭曲面）弦拓扑运算的广义同调理论。
• 利用几乎复流形循环空间的切丛的规范极化，为该空间定义一个新的'极化Atiyah对偶'pro-谱。
• 解决阻碍在 $h_*(LM)$ 上Frobenius代数结构中余单位存在的同调障碍，从而阻止完整TQFT的实现。
• 建立 $LM$ 上半无限或'中间维数'同调理论的框架，支持类似于交形式的非退化配对。
• 通过Thom下降映射与加权图参数化，系统构造具有 $p$ 个输入边界和 $q \geq 1$ 个输出边界组件的曲面的TQFT运算。

提出的方法

• 使用与曲面 $\Sigma$ 关联的加权图 $\Gamma_\Sigma$ 参数化从 $\Gamma_\Sigma$ 到 $M$ 的映射，将此类映射的空间嵌入 $(LM)^p$。
• 为 $\text{Map}(\Gamma_\Sigma, M)$ 在 $(LM)^p$ 中的有限余维嵌入构造Thom下降映射，从而在同调中实现上推。
• 将TQFT运算 $\mu_\Sigma$ 定义为上推与对输出边界组件的限制 $\rho_{\text{out}}: \text{Map}(\Gamma_\Sigma, M) \to (LM)^q$ 的复合。
• 通过 $S^1$-等变子丛 $E_{i,j}$ 对拉回切丛 $p^*(TLM) \to LM_\pm$ 进行过滤，其中 $E_{i,j}$ 定义为 $z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$，$\gamma$ 为循环，$W \subset T_\gamma(LM)$。
• 通过逆系统 $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $ 的Thom谱构造极化Atiyah对偶，作为 $S^1$-等变谱中的pro-对象，结构映射由丛包含诱导。
• 将等变同调理论应用于此pro-谱，以获得支持闭曲面运算的候选理论，特别是研究正交补丛的Euler类何时为可逆元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义同调理论 $h_*$ 下，$h_*(LM)$ 上Frobenius代数结构中余单位不存在的障碍是什么？
• RQ2 能否构建一个广义同调理论，使其支持闭曲面（包括作为从 $S^1$ 到 $\emptyset$ 的cobordism的圆盘）的弦拓扑运算？
• RQ3 如何利用几乎复流形 $LM$ 的切丛的规范极化，定义一个支持完整TQFT运算的新pro-谱？
• RQ4 $S^1$-等变过滤 $E_{i,j} \subset p^*(TLM)$ 在构造 $LM$ 上的半无限或中间维数同调理论中起什么作用？
• RQ5 在何种等变上同调理论条件下，过滤的正交补丛的Euler类成为单位，从而实现完整TQFT？

主要发现

• 对于支持流形 $M$ 的定向的广义同调理论 $h_*$，同调 $h_*(LM)$ 构成一个无余单位的单位元、交换的Frobenius代数，对应于正边界TQFT。
• 通过与加权图参数化相关的Thom下降映射，对任意具有 $p$ 个输入边界和 $q \geq 1$ 个输出边界组件的曲面 $\Sigma$ 构造了弦拓扑运算。
• $h_*(LM)$ 中余单位的缺失受到阻碍，其原因在于无法为从 $S^1$ 到 $\emptyset$ 的圆盘 $D^2$ 定义一个良定的运算，这要求采用不同的同调框架。
• 通过子丛 $E_{i,j} = z^{-j}W \cap (z^{-i}W)^\perp$ 构造了 $S^1$-等变切丛 $p^*(TLM) \to LM_\pm$ 的过滤，得到一个具有有限维子商的、稠密且递增的过滤。
• 子商 $E_{i-1,j}/E_{i,j}$ 和 $E_{i,j+1}/E_{i,j}$ 在非等变意义下同构于 $\tilde{p}^*(TM)$，其中 $\tilde{p}: LM_\pm \to M$ 在基点处求值循环。
• 极化Atiyah对偶被定义为 $S^1$-等变谱中的pro-对象，通过逆系统 $ (LM_\pm)^{-E_{i,j}} $ 的Thom谱实现，结构映射由丛包含诱导。