[论文解读] A polynomial time algorithm for the linearization problem of the QSPP and its applications

Hao Hu, Renata Sotirov|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于在有向无环图上求解二次最短路径问题（QSPP）的线性化问题，时间复杂度为 O(nm³)。通过利用该线性化结果，作者构建了一类针对QSPP的下界，包括一个最优线性规划下界，其性能优于现有方法。

ABSTRACT

Given an instance of the quadratic shortest path problem (QSPP) on a digraph $G$, the linearization problem for the QSPP asks whether there exists an instance of the linear shortest path problem on $G$ such that the associated costs for both problems are equal for every $s$-$t$ path in $G$. We prove here that the linearization problem for the QSPP on directed acyclic graphs can be solved in ${\mathcal O}(nm^{3})$ time, where $n$ is the number of vertices and $m$ is the number of arcs in $G$. By exploiting this linearization result, we introduce a family of lower bounds for the QSPP on acyclic digraphs. The strongest lower bound from this family of bounds is the optimal solution of a linear programming problem. To the best of our knowledge, this is the first study in which the linearization problem is exploited to compute bounds for the corresponding optimization problem. Numerical results show that our approach provides the best known linear programming bound for the QSPP. We also present a lower bound for the QSPP that is derived from a sequence of problem reformulations, and prove finite convergence of that sequence. This lower bound belongs to our family of linear bounds, and requires less computational effort than the best bound from the family.

研究动机与目标

• 在有向无环图上以多项式时间求解QSPP的线性化问题。
• 利用线性化结果推导出针对QSPP的有效下界。
• 提出一类新的基于线性规划的下界，其紧致性优于现有方法。
• 通过具有有限收敛性的问题重构序列，开发一种计算成本更低的下界。
• 通过实证结果表明，所提出的下界优于文献中已知的下界。

提出的方法

• 采用一种多项式时间算法求解线性化问题，该算法用于判断有向s-t路径上的二次成本函数是否可被同一组路径上的线性成本函数表示。
• 该算法的时间复杂度为 O(nm³)，其中 n 为顶点数，m 为有向图中的弧数。
• 通过利用线性化结果，构建了一类下界，其中最强的下界来自求解一个线性规划松弛问题。
• 采用一系列问题重构来生成另一种下界，该方法被证明具有有限收敛性。
• 结果表明，基于重构的下界在计算量上低于线性规划家族中的最优下界。
• 数值实验验证了所提方法在现有基准测试中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有向无环图上以多项式时间求解QSPP的线性化问题？
• RQ2 能否利用线性化结果生成针对QSPP的强下界？
• RQ3 具有有限收敛性的问题重构序列所生成的下界，其计算复杂度和质量如何？
• RQ4 与现有方法相比，所提出的基于线性规划的下界在紧致性和计算成本方面表现如何？
• RQ5 线性化框架能否用于设计出优于以往方法的更有效下界？

主要发现

• 在有向无环图上，QSPP的线性化问题可在 O(nm³) 时间内求解，从而确立了多项式时间解法。
• 所提家族中最强的下界是线性规划问题的最优解，提供了目前针对QSPP的最优线性规划下界。
• 基于重构的下界具有有限步收敛性，且计算量低于线性规划家族中的最优下界。
• 数值结果证实，所提出的基于线性规划的下界优于文献中已知的线性规划下界。
• 本工作首次利用线性化方法计算QSPP的下界，为二次最短路径问题的下界设计开辟了新方向。
• 该类下界包含高紧致性与低复杂度的选项，为实际应用提供了灵活性。