[论文解读] A polynomial-time relaxation of the Gromov-Hausdorff distance

Soledad Villar, Afonso S. Bandeira+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的半定规划（SDP）松弛方法，用于近似Gromov-Hausdorff距离，该方法作为比较有限度量空间和点云的可计算伪度量。该松弛方法实现了高效计算，并同时提供真实Gromov-Hausdorff距离的下界以及点集之间的松弛对应关系，通过在形状匹配和生物数据上的数值实验得到验证。

ABSTRACT

The Gromov-Hausdorff distance provides a metric on the set of isometry classes of compact metric spaces. Unfortunately, computing this metric directly is believed to be computationally intractable. Motivated by applications in shape matching and point-cloud comparison, we study a semidefinite programming relaxation of the Gromov-Hausdorff metric. This relaxation can be computed in polynomial time, and somewhat surprisingly is itself a pseudometric. We describe the induced topology on the set of compact metric spaces. Finally, we demonstrate the numerical performance of various algorithms for computing the relaxed distance and apply these algorithms to several relevant data sets. In particular we propose a greedy algorithm for finding the best correspondence between finite metric spaces that can handle hundreds of points.

研究动机与目标

• 为解决精确Gromov-Hausdorff距离计算的不可行性，其计算为NP难问题。
• 开发一种可计算的凸松弛方法，保留几何可解释性，并提供真实距离的下界。
• 实现有限度量空间之间对应关系的实用化计算，特别是在形状匹配和点注册任务中。
• 在真实数据集（包括3D模型和生物点云）上验证该松弛方法的性能。
• 提出一种非凸优化算法，高效地找到近似对应关系，并提供Gromov-Hausdorff距离的上界。

提出的方法

• 将Gromov-Hausdorff距离表述为点集之间对应关系上的极小化-极大化优化问题。
• 通过将对应矩阵提升为满足迹约束的半正定矩阵，将问题松弛为半定规划（SDP）。
• 利用SDP松弛计算一种可在多项式时间内求解的伪度量，并满足三角不等式。
• 提出一种基于增广拉格朗日法的贪心非凸优化算法，从松弛解中恢复稀疏且双射的对应关系。
• 通过阈值处理和参数调优（σ₀, μ）促进SDP输出的二值化，从而实现实际的对应关系恢复。
• 使用3D网格上的测地距离和特征点集上的欧氏距离，评估真实数据上的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持关键度量性质的前提下，以多项式时间计算Gromov-Hausdorff距离的凸松弛？
• RQ2 所提出的SDP松弛是否能产生一种伪度量，作为真实Gromov-Hausdorff距离的有意义下界？
• RQ3 该松弛方法在无先验对应关系的情况下，捕捉点云之间几何相似性的能力如何？
• RQ4 非凸优化策略能否从松弛解中恢复高质量的对应关系，即使在缺乏真实标签映射的情况下？
• RQ5 该松弛距离在真实数据集上的性能与专家标注的特征点方法及共形Wasserstein距离相比如何？

主要发现

• SDP松弛在多项式时间内计算出一种伪度量，可作为Gromov-Hausdorff距离的下界，其度量行为具有理论依据。
• 基于增广拉格朗日法的非凸优化算法能高效恢复双射对应关系，当参数σ₀和μ选择得当时，可收敛至稀疏解。
• 在包含115颗牙齿、每颗含16个专家标注特征点的数据集中，该松弛距离实现了85%的最近邻分类准确率，与共形Wasserstein方法的91%及基于特征点的刚性配准方法的92%相当。
• 该算法在标准笔记本电脑上处理50个点的3D点云耗时不足6分钟，展示了对中等规模数据集的可扩展性。
• 该方法在对称形状（如狗）上表现良好，能正确匹配对应肢体，尽管由于采样变异性导致少数错配。
• 该松弛方法对几何假设具有鲁棒性——无需光滑曲面或显式流形结构，与部分竞争方法不同。