[论文解读] A Pseudospectral Approach to High Index DAE Optimal Control Problems

Harleigh C. Marsh, Mark Karpenko+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文表明，通过DIDO MATLAB工具箱实现的伪谱（PS）方法可直接求解高指标微分代数方程（DAE）最优控制问题——例如三阶指标的单摆问题——而无需进行指标降阶，从而挑战了长期以来认为此类问题本质上困难的信念。其关键贡献在于提供了证据，表明PS方法可绕过传统计算障碍，提示需要建立一种基于计算方法依赖性的新DAE难度理论。

ABSTRACT

Historically, solving optimal control problems with high index differential algebraic equations (DAEs) has been considered extremely hard. Computational experience with Runge-Kutta (RK) methods confirms the difficulties. High index DAE problems occur quite naturally in many practical engineering applications. Over the last two decades, a vast number of real-world problems have been solved routinely using pseudospectral (PS) optimal control techniques. In view of this, we solve a "provably hard," index-three problem using the PS method implemented in DIDO, a state-of-the-art MATLAB optimal control toolbox. In contrast to RK-type solution techniques, no laborious index-reduction process was used to generate the PS solution. The PS solution is independently verified and validated using standard industry practices. It turns out that proper PS methods can indeed be used to "directly" solve high index DAE optimal control problems. In view of this, it is proposed that a new theory of difficulty for DAEs be put forth.

研究动机与目标

• 调查高指标DAE最优控制问题是否本质上困难，或困难是否源于特定计算方法。
• 测试伪谱（PS）方法在先前未通过龙格-库塔（RK）方法在不进行指标降阶情况下求解的基准三阶指标DAE问题上的有效性。
• 验证PS方法可直接处理具有奇异弧和代数约束的高指标DAEs，如实际工程问题中所见。
• 挑战传统观念，即高指标DAE最优控制问题求解必须进行指标降阶。
• 基于计算方法依赖性而非问题内在复杂性，提出一种新的DAE难度理论。

提出的方法

• 本研究采用DIDO MATLAB最优控制工具箱，该工具箱通过协向量映射原理（CMP）实现伪谱最优控制，用于推导必要条件。
• 以标准状态空间形式构建三阶指标DAE最优控制问题，使用状态变量 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$，其中 $x_5$ 表示代数约束 $x_1^2 + x_3^2 = L^2$ 的拉格朗日乘子。
• 应用二阶伪谱微分矩阵，以谱精度近似状态和协态轨迹，从而实现最优控制问题的高精度求解。
• 通过绘制协态和控制表达式，检查必要条件——终端横截性和控制条件（公式9和10）——是否在数值上满足，以验证解的正确性。
• 通过标准工业实践进行独立验证，确认PS解在不进行指标降阶或问题变换的情况下具有可靠性。
• PS方法的收敛性理论基于Stone-Weierstrass定理和Arzelà–Ascoli定理，不依赖于指标或奇异性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪谱方法能否在不进行指标降阶或问题变换的情况下，直接求解高指标DAE最优控制问题？
• RQ2 为何基于龙格-库塔的方法在高指标DAE问题上失败，而伪谱方法却能成功？
• RQ3 求解高指标DAE最优控制问题的困难是否源于问题本身，还是源于所选数值方法？
• RQ4 伪谱方法能否在不损害收敛性或精度的前提下，有效处理奇异弧和高指标DAEs？
• RQ5 伪谱方法在求解复杂实际DAE问题中的成功，是否意味着需要重新审视当前的DAE难度理论？

主要发现

• 在DIDO中实现的伪谱方法成功求解了基准三阶指标DAE最优控制问题，且无需任何指标降阶或问题变换。
• 解满足所有必要条件，包括终端横截性和控制最优性，通过协态和控制表达式的数值图示得到确认。
• DIDO生成的协态在终端时刻为零，证实满足终端横截性条件。
• 由必要条件（公式9）导出的控制律在数值上得到验证，公式两边在图8中完全对齐。
• 奇异控制条件（公式10）在数值上也得到满足，如图9所示，证实解与最优性条件一致。
• 本研究结论认为，当使用正确实现的伪谱方法求解时，高指标DAE问题并非本质上困难，提示应建立一种基于计算方法依赖性的新DAE难度理论，而非基于问题内在复杂性。