[论文解读] A Quantum Approximate Optimization Algorithm Applied to a Bounded Occurrence Constraint Problem

Edward Farhi, Jeffrey Goldstone+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 128

一句话总结

该论文将量子近似优化算法（QAOA）应用于 $p=1$ 层级的有界出现次数最大 E3LIN2 问题，其中每个变量最多出现在 $D+1$ 个方程中。论文证明，该量子算法平均可满足 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$ 个方程，优于经典算法的 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{常数}}{D^{1/2}}\right)$，并在典型随机实例上实现了 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$ 的满足率。

ABSTRACT

We apply our recent Quantum Approximate Optimization Algorithm to the combinatorial problem of bounded occurrence Max E3LIN2. The input is a set of linear equations each of which contains exactly three boolean variables and each equation says that the sum of the variables mod 2 is 0 or is 1. Every variable is in no more than D equations. A random string will satisfy 1/2 of the equations. We show that the level one QAOA will efficiently produce a string that satisfies $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101 D^{1/2}\, l n\, D} ight)$ times the number of equations. A recent classical algorithm achieved $\left(\frac{1}{2} + \frac{constant}{D^{1/2}} ight)$. We also show that in the typical case the quantum computer will output a string that satisfies $\left(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2\sqrt{3e}\, D^{1/2}} ight)$ times the number of equations.

研究动机与目标

• 分析 QAOA 在 $p=1$ 层级下对有界变量出现次数的 Max E3LIN2 问题的性能。
• 在有界出现次数约束下，建立 QAOA 相较于经典算法在近似求解 Max E3LIN2 问题中的量子优势。
• 通过量子态制备与测量，推导出满足方程数的期望值下界。
• 将量子性能与已知的经典近似界进行比较，特别是与依赖于 $D^{-1/2}$ 的界进行对比。

提出的方法

• 使用固定的 $\beta = \pi/4$ 和优化后的 $\gamma$ 应用 QAOA，制备量子态 $|\gamma, \beta\rangle = e^{-i\beta B}e^{-i\gamma C}|s\rangle$，其中 $|s\rangle$ 为均匀叠加态。
• 将目标函数 $C(z)$（统计满足方程的数量）编码为计算基下的对角算符，每个子句贡献一项 $\frac{1}{2}(1 \pm Z_a Z_b Z_c)$。
• 通过计算期望值 $\langle -\gamma, \pi/4 | C | -\gamma, \pi/4 \rangle$ 来估计平均满足方程数。
• 通过分析子句之间的相关性进行方差分析，表明仅重叠的子句对波动有显著贡献。
• 利用 $d_{abc}$ 值为独立的 $\pm1$ 随机变量的事实，并借助统计独立性来界定期望值的方差。
• 在期望值和典型情况（方程目标以相等概率赋值为 0 或 1）下评估性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA 在 $p=1$ 时能否在有界出现次数的 Max E3LIN2 问题上实现优于经典算法的近似比？
• RQ2 当每个变量最多出现在 $D+1$ 个方程中时，QAOA 期望满足的方程比例是多少？
• RQ3 与经典算法的 $\left(\frac{1}{2} + \frac{\text{常数}}{D^{1/2}}\right)$ 边界相比，该量子算法的性能如何？
• RQ4 在方程目标随机分配的典型情况下，QAOA 是否优于随机猜测？
• RQ5 通过优化 $\gamma$ 和 $\beta$ 或增加 $p$，性能能否进一步提升？

主要发现

• 在期望下，QAOA 在 $p=1$ 时至少可满足 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{101D^{1/2}\ln D}\right)m$ 个方程，其中 $m$ 为方程总数。
• 在典型随机实例中（方程目标以 50/50 概率赋值为 0 或 1），该算法以高概率满足 $\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt{3e}\,D^{1/2}}\right)m$ 个方程。
• 性能增益的尺度为 $\sim D^{-1/2}\ln^{-1}D$，在常数因子上优于经典算法的 $\sim D^{-1/2}$ 边界。
• 输出的方差被限制在 $\mathcal{O}(mD^2)$ 以内，确保在 $m$ 较大时结果集中在均值附近。
• 分析表明，仅共享至少一个变量的重叠子句对方差有显著贡献，从而限制了相关项的数量。
• 该结果在有界出现次数约束下，确立了 QAOA 在 Max E3LIN2 问题近似比上的量子优势，即使在 $p=1$ 时亦成立。