[论文解读] What do QAOA energies reveal about graphs?

Márió Szegedy|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 15

一句话总结

本文提出将QAOA能量（无需参数优化）作为图结构发现的工具，揭示3-regular图中的拓扑特征，如顶点数和三角形密度。研究表明，QAOA能量可区分最多18阶的非同构3-regular图以及最多26阶的强正则图，同时发现一种令人惊讶的解耦现象：对于非同构图，不可区分的能量意味着其能量景观极度平坦。

ABSTRACT

Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is a hybrid classical-quantum algorithm to approximately solve NP optimization problems such as MAX-CUT. We describe a new application area of QAOA circuits: graph structure discovery. We omit the time-consuming parameter-optimization phase and utilize the dependence of QAOA energy on the graph structure for randomly or judiciously chosen parameters to learn about graphs. In the first part, Following up on Wang et. al. and Brandao et. al. we give explicit formulas. We show that the layer-one QAOA energy for the MAX-CUT problem for three regular graphs carries exactly the information: {\em (# of vertices, # of triangles)}. We have calculated our explicit formulas differently from \cite{wang2018quantum}, by developing the notion of the $U$ polynomial of a graph $G$. Many of our discoveries can be interpreted as computing $U(G)$ under various restrictions. The most basic question when comparing the structure of two graphs is if they are isomorphic or not. We find that the QAOA energies separate all non-isomorphic three-regular graphs up to size 18, all strongly regular graphs up to size 26 and the Praust and the smallest Miyazaki examples. We observe that the QAOA energy values can be also used as a proxy to how much graphs differ. Unfortunately, we have also found a sequence of non-isomorphic pairs of graphs, for which the energy gap seems to shrink at an exponential rate as the size grows. Our negative findings however come with a surprise: if the QAOA energies do not measurably separate between two graphs, then both of their energy landscapes must be extremely flat (indistinguishable from constant), already when the number of QAOA layers is intermediately large. This holds due to a remarkable uncoupling phenomenon that we have only deduced from computer simulation.

研究动机与目标

• 探索QAOA能量是否可在无需参数优化的情况下揭示图的结构特性。
• 研究QAOA能量在多大程度上可区分非同构图，特别是在3-regular图和强正则图的背景下。
• 利用U-多项式和高阶密度矩阵构建理论框架，以计算和分析QAOA能量。
• 理解非同构图之间不可区分的QAOA能量所带来的影响，特别是关于能量景观平坦性的含义。

提出的方法

• 本文引入图的U-多项式作为新工具，显式计算一层QAOA能量，实现无需优化的结构分析。
• 建立密度矩阵（一阶和二阶）的递推关系，以计算QAOA态演化，利用矩阵元仅依赖于比特串相等切割值的特性。
• 通过角度参数的积分推导选择规则：仅具有相等切割值的项有贡献，从而导致能量贡献的解耦。
• 利用QAOA动力学计算大量参数集下的平均能量和标准差，实现对图差异的统计分析。
• 将分析扩展至高阶密度矩阵，以研究量子比特对之间的关联及其在能量计算中的作用。
• 理论推导辅以大量数值模拟，观察能量景观行为，特别是非同构图对中的表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用随机或固定参数计算的QAOA能量能否揭示图的结构不变量，如3-regular图中的顶点数和三角形数？
• RQ2 QAOA能量在多大程度上可区分非同构的3-regular图和强正则图？
• RQ3 当QAOA能量无法区分两个非同构图时，其能量景观会发生什么变化？这对底层量子态演化意味着什么？
• RQ4 高阶密度矩阵如何贡献于QAOA能量的计算与解释？
• RQ5 是否存在一种普遍机制，解释为何非同构图之间不可区分的QAOA能量与极度平坦的能量景观相关？

主要发现

• 对于3-regular图，一层QAOA能量通过U-多项式形式化精确编码了图中的顶点数和三角形数。
• QAOA能量成功区分了最多18阶的所有非同构3-regular图以及最多26阶的所有强正则图。
• 本文识别出一系列非同构图对，其QAOA能量间隙随图大小呈指数缩小，表明基于能量的可区分性存在根本性限制。
• 当QAOA能量无法区分两个非同构图时，其能量景观被发现极度平坦——从中间层数量起即难以与常数区分。
• 这种平坦性归因于一种显著的解耦现象，由模拟推导得出：量子关联在图结构上发生了解耦。
• 研究揭示，即使在无优化的情况下，QAOA动力学和高阶密度矩阵仍是通过能量行为分析图结构的强大工具。