[论文解读] A quantum linguistic characterization of the reverse relation between confidence interval and hypothesis testing

Shiro Ishikawa|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种量子语言框架，以解决经典统计学中置信区间与假设检验之间的概念性逆向关系。通过将统计推断建模为测量理论（使用公理1（测量）和公理2（因果性）），表明标准教科书中的假设检验（例如t检验）在数学上与置信区间互为对偶，且t分布自然地从基于半距离的拒绝域中浮现。

ABSTRACT

Although there are many ideas for the formulations of statistical hypothesis testing, we consider that the likelihood ratio test is the most reasonable and orthodox. However, it is not handy, and thus, it is not usual in elementary books. That is, the statistical hypothesis testing written in elementary books is different from the likelihood ratio test. Thus, from the theoretical point of view, we have the following question: "What is the statistical hypothesis testing written in elementary books?" For example, we consider that even the difference between "one sided test" and "two sided test" is not clear yet. In this paper, we give an answer to this question. That is, we propose a new formulation of statistical hypothesis testing, which is contrary to the confidence interval methods. In other words, they are two sides of the same coin. This will be done in quantum language (or, measurement theory), which is characterized as the linguistic turn of the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, and also, a kind of system theory such that it is applicable to both classical and quantum systems. Since quantum language is suited for theoretical arguments, we believe that our results are essentially final as a general theory.

研究动机与目标

• 澄清基础统计假设检验的理论基础，这通常与正统似然比检验不同。
• 解决标准统计教科书中关于单侧检验与双侧检验区分的概念模糊性。
• 建立一个统一的理论框架，将置信区间与假设检验视为经典统计学中的对偶概念。
• 证明学生t分布自然地从量子语言表述中的基于半距离的拒绝域中浮现。
• 使用量子语言（测量理论）提供一个理论完整且最终的古典统计推断形式化。

提出的方法

• 在交换的 $C^*$-代数框架内形式化统计推断，将状态建模为局部紧致豪斯多夫空间 $\Omega$ 的元素。
• 应用量子语言的公理1（测量）来通过均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的正态可观测量 $\mathsf{O}_N$ 定义测量值的概率。
• 在参数空间 $\Theta$ 上引入半距离 $d^x_\Theta$，以定义假设检验的拒绝域，通过距离定义区分单侧与双侧检验。
• 基于标准化偏离量 $|\overline{\mu}(x) - \mu_0| / (\overline{\sigma}'(x)/\sqrt{n})$，利用自由度为 $n-1$ 的t分布推导出 $\alpha$-拒绝域 $\widehat{R}^\alpha_{H_N}$。
• 使用语言学解释确保仅允许一次测量，从而将理论建立在一致且可解释的框架之上。
• 将所提出的反向置信区间方法（定理4）与似然比检验（定理2）进行比较，表明在量子语言框架中二者具有对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基础统计教科书中常见的假设检验（与似然比检验不同）的理论基础是什么？
• RQ2 在统一的统计框架内，如何正式刻画单侧检验与双侧检验之间的区别？
• RQ3 为什么学生t分布自然地出现在假设检验中？这一现象能否在无附加假设的前提下得到解释？
• RQ4 是否存在一种可通过测量理论形式化的置信区间与假设检验之间的对偶性？
• RQ5 置信区间与假设检验之间的逆向关系是否可作为一致基础理论的自然推论被推导出来？

主要发现

• 标准教科书中的假设检验（通常涉及t检验与置信区间）被形式化地证明是通过基于半距离的拒绝域实现的置信区间构造的对偶。
• $H_N = \{\mu_0\}$ 的 $\alpha$-拒绝域被推导为 $\{\overline{\mu}(x) \in \mathbb{R} : \frac{|\overline{\mu}(x) - \mu_0|}{\overline{\sigma}'(x)/\sqrt{n}} \geq t(\alpha/2)\}$，这与标准双侧t检验一致。
• 对于 $H_N = (-\infty, \mu_0]$ 的单侧检验，拒绝域变为 $\{\overline{\mu}(x) \in \mathbb{R} : \mu_0 \leq \overline{\mu}(x) - \frac{\overline{\sigma}'(x)}{\sqrt{n}} t(\alpha)\}$，该结果基于修改后的半距离推导得出。
• 在量子语言框架下，学生t分布自然地作为标准化均值差异的抽样分布浮现，自由度为 $n-1$。
• 似然比检验（定理2）与反向置信区间方法（定理4）被证明是双重表述，后者在基础统计学中更具实用性和直观性。
• 整个框架建立在一致的测量理论基础（公理1与公理2）之上，使结果在经典系统中具有理论上的最终性。