[论文解读] A Qubit, a Coin, and an Advice String Walk Into a Relational Problem

Scott Aaronson, Harry Buhrman+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文引入並研究了複雜度類 FBQP/qpoly——可使用多項式大小量子建議在量子多項式時間內解決的關係問題——並無條件地證明 FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly，與決定性類別形成鮮明對比。該分離通過重新利用一個量子單向通信複雜度差距實現，為在無需未經證明假設的情況下，實現近距離實驗性『量子資訊優勢』提供了途徑。

ABSTRACT

Relational problems (those with many possible valid outputs) are different from decision problems, but it is easy to forget just how different. This paper initiates the study of FBQP/qpoly, the class of relational problems solvable in quantum polynomial-time with the help of polynomial-sized quantum advice, along with its analogues for deterministic and randomized computation (FP, FBPP) and advice (/poly, /rpoly). Our first result is that FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly, unconditionally, with no oracle - a striking contrast with what we know about the analogous decision classes. The proof repurposes the separation between quantum and classical one-way communication complexities due to Bar-Yossef, Jayram, and Kerenidis. We discuss how this separation raises the prospect of near-term experiments to demonstrate "quantum information supremacy," a form of quantum supremacy that would not depend on unproved complexity assumptions. Our second result is that FBPP ̸ ⊂ FP/poly - that is, Adleman’s Theorem fails for relational problems - unless PSPACE ⊂ NP/poly. Our proof uses IP = PSPACE and time-bounded Kolmogorov complexity. On the other hand, we show that proving FBPP ̸ ⊂ FP/poly will be hard, as it implies a superpolynomial circuit lower bound for PromiseBPEXP. We prove the following further results: - Unconditionally, FP ≠ FBPP and FP/poly ≠ FBPP/poly (even when these classes are carefully defined). - FBPP/poly = FBPP/rpoly (and likewise for FBQP). For sampling problems, by contrast, SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly (and likewise for SampBQP).

研究动机与目标

• 正式定義並研究 FBQP/qpoly，即帶量子建議的 BQP 的關係類似物，及其對應的經典與隨機建議版本。
• 探討 Adleman 定理（BPP ⊂ P/poly）是否可推廣至關係問題，以及其在何種條件下會失效。
• 探討量子建議在關係計算中的能力，及其在近距離實驗中驗證量子優勢的潛力。
• 釐清帶建議的採樣類與關係類之間的差異，特別是 SampBPP/poly 與 SampBPP/rpoly 之間的區別。
• 識別出明確且可構造的問題，以區分 FBQP/qpoly 與 FBQP/rpoly，從而超越非構造性的機率方法。

提出的方法

• 重新利用 Bar-Yossef、Jayram 和 Kerenidis 提出的量子單向通信複雜度分離，構造一個屬於 FBQP/qpoly 但不屬於 FBQP/poly 的關係問題。
• 利用時間有界柯爾莫哥洛夫複雜度與時間有界停機問題，構造出屬於 FBPP 但不屬於 FP 的明確問題範例。
• 應用 IP = PSPACE 與時間有界柯爾莫哥洛夫複雜度，證明 FBPP ⊄ FP/poly，除非 PSPACE ⊂ NP/poly。
• 透過將採樣問題與其關係對應問題關聯，並利用總變異距離來限制誤差，證明 SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpoly。
• 運用計數與機率方法，證明某些採樣問題即使擁有隨機建議，也不在 SampBPP/poly 中。
• 分析準備量子建議態的電路複雜度，並探討是否僅需簡單測量（例如單量子比特測量）即可達成此一分離。

实验结果

研究问题

• RQ1 FBQP/qpoly 是否嚴格大於 FBQP/poly？若成立，能否在無或acles的情況下無條件證明？
• RQ2 Adleman 定理是否對關係問題失效？其成立需要哪些複雜度理論假設？
• RQ3 能否使 FBQP/qpoly 與 FBQP/rpoly 之間的分離變得明確，而非依賴機率方法？
• RQ4 準備能實現此一分離的量子建議態所需的最小電路複雜度為何？
• RQ5 能否將此一分離轉化為近距離實驗中測試『量子資訊優勢』的途徑？

主要发现

• FBQP/qpoly ≠ FBQP/poly 無條件成立，無需使用 oracle，顯示在關係計算中，量子與經典建議之間存在根本性差距。
• 該分離透過改寫已知的量子單向通信複雜度差距實現，顯示 n 個量子比特的量子建議可解決一個需 Ω(2^n/2) 比特經典隨機建議的關係問題。
• FBPP ⊄ FP/poly，除非 PSPACE ⊂ NP/poly，顯示 Adleman 定理在標準複雜度假設下無法推廣至關係問題。
• FBPP/poly = FBPP/rpoly 與 FBQP/poly = FBQP/rpoly 成立，但 SampBPP/poly ≠ SampBPP/rpoly 與 SampBQP/poly ≠ SampBQP/rpoly，揭示採樣類與關係類之間的關鍵非對稱性。
• SampBQP/rpoly ≠ SampBQP/qpoly，因為無法用經典隨機建議模擬基於量子建議解決關係問題的輸出分佈。
• 本文猜想，關係問題的經典建議下界可能達到 Ω(2^n)，與量子建議大小相符，但目前的界限僅為 Ω(2^n/2)。