[论文解读] A Relative Theory of Interleavings

Magnus Bakke Botnan, Justin Curry+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2020

Labor market dynamics and wage inequality被引用 5

一句话总结

本文提出了一种交错的相对理论，通过将缺乏非平凡平移的偏序集（如锯齿形偏序集和单纯复形的面偏序集）嵌入到具有超线性平移族的目标偏序集中，将交错距离扩展至此类偏序集。关键贡献是通过拉回与上推函子定义的相对交错距离，证明其在目标偏序集中与原始距离等距，从而实现稳定推断与基于像素化的近似，适用于拓扑数据分析。

ABSTRACT

The interleaving distance, although originally developed for persistent homology, has been generalized to measure the distance between functors modeled on many posets or even small categories. Existing theories require that such a poset have a superlinear family of translations or a similar structure. However, many posets of interest to topological data analysis, such as zig-zag posets and the face relation poset of a cell-complex, do not admit interesting translations, and consequently don't admit a nice theory of interleavings. In this paper we show how one can side-step this limitation by providing a general theory where one maps to a poset that does admit interesting translations, such as the lattice of down sets, and then defines interleavings relative to this map. Part of our theory includes a rigorous notion of discretization or "pixelization" of poset modules, which in turn we use for interleaving inference. We provide an approximation condition that in the setting of lattices gives rise to two possible pixelizations, both of which are guaranteed to be close in the interleaving distance. Finally, we conclude by considering interleaving inference for cosheaves over a metric space and give an explicit description of interleavings over a grid structure on Euclidean space.

研究动机与目标

• 为解决现有交错理论的局限性，即要求索引偏序集具有超线性平移族，而这一条件在拓扑数据分析中的关键偏序集（如锯齿形偏序集和面偏序集）中并不满足。
• 通过将任意偏序集映射到一个支持非平凡平移的目标准则偏序集，建立在任意偏序集上定义交错距离的一般框架。
• 通过拉回与上推运算形式化偏序集模的离散化或“像素化”概念，实现对连续结构的近似。
• 建立此类像素化在有界误差内保持交错距离的条件，确保推断的理论稳定性。

提出的方法

• 通过偏序集映射 f: P → Q 定义相对交错距离，其中 Q 拥有超线性平移族。
• 利用拉回 f* 和上推 f* 函子，将模与交错结构从 P 转移到 Q 并返回。
• 在映射 f: P → Q 上引入 δ-近似条件，以限制交错距离中的失真。
• 证明上推函子 f* 是其像上的等距映射，确保 P 中的距离在提升至 Q 时得以保持。
• 通过 f* f* M 构造两种类型的像素化，并利用三角不等式论证表明它们之间为 2δ-交错。
• 将该理论应用于度量空间上的余层，通过在 R^n 上放置网格结构，表明仅使用单元的离散偏移即可实现交错推断。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在缺乏非平凡平移的偏序集（如锯齿形偏序集或胞复形的面偏序集）上定义交错距离？
• RQ2 是否可以通过将偏序集 P 映射到一个支持超线性平移族的目标偏序集 Q，来定义一种稳定且相对的交错距离？
• RQ3 如何通过离散化（像素化）近似 P-模，同时在可控误差界内保持交错距离？
• RQ4 在什么条件下，通过 f: P → Q 的拉回操作能将 Q-模的交错距离保持在小失真范围内？
• RQ5 能否将度量空间上余层的交错推断简化为基于离散网格的计算？

主要发现

• 上推函子 f* 是其像上的等距映射，意味着 P 上的相对交错距离与 Q 上的交错距离等距，从而保持稳定性。
• 证明了两种像素化操作 f* f* M 为 2δ-交错，提供了基于格结构构造的 P-模稳定近似。
• 对于 δ-近似的 f: L → Q（其中 L 为格），拉回 f* 的交错距离失真不超过 2δ，建立了失真上界。
• 该理论使得在 R^n 上对余层实现稳定交错推断成为可能，通过用离散单元偏移替代连续开集增长。
• 当网格间距被限制在 δ 以内时，余层的交错关系仅需通过单元的离散偏移即可计算，验证了实际计算上的简化。
• 该框架可通过将任意偏序集嵌入下集的平移丰富格中推广至一般偏序集，将交错理论的应用范围扩展至此前难以处理的情形。