[论文解读] A Remark on the Omori-Yau Maximum Principle

Albert Borbély|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用 12

一句话总结

本文通过证明：若完备黎曼流形的径向拉普拉斯算子被一个满足 $ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $ 且 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ 的函数 $ G(r) $ 从上方控制，则该流形满足 Omori-Yau 最大值原理。该条件是最优的，因为当该积分收敛时，可通过构造反例证明原理不再成立。

ABSTRACT

A Riemannian manifold $M$ is said to satisfy the Omori-Yau maximum principle if for any $C^2$ bounded function $g:M o \Bbb R$ there is a sequence $x_n\in M$, such that $\lim_{n o \infty}g(x_n)=\sup_M g$, $ \lim_{n o \infty}| abla g(x_n)|=0$ and $\limsup_{n o \infty}Δg(x_n)\leq 0$. It is shown that if the Ricci curvature does not approach $-\infty $ too fast the manifold satisfies the Omori-Yau maximum principle. This improves earlier necessary conditions. The given condition is quite optimal.

研究动机与目标

• 改进完备黎曼流形满足 Omori-Yau 最大值原理的必要条件。
• 去除早期 Ratto-Rigoli-Setti 研究中存在的一些不必要的技术假设（例如奇数阶导数为零及上极限条件）。
• 通过构造反例，证明条件 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ 的紧致性。
• 仅基于控制距离函数拉普拉斯算子的函数 $ G(t) $ 的增长行为，提供一个简化且最优的判据。

提出的方法

• 定义函数 $ F(t) = \exp\left(\int_0^t \frac{1}{G(s)}\,ds\right) $，该函数严格递增，且当 $ t \to \infty $ 时趋于无穷。
• 构造比较函数 $ h_\lambda(x) = \lambda F(r(x)) + L - \epsilon $，其中 $ L = \sup_M g $，通过次水平集测试最大值原理。
• 利用参数 $ \lambda $ 的下确界 $ \lambda_0 $，使得对所有 $ x $ 有 $ h_\lambda > g $，从而定位到一点 $ x_\epsilon $ 满足 $ h_{\lambda_0}(x_\epsilon) = g(x_\epsilon) $。
• 使用早期研究中的标准论证，证明 $ h_{\lambda_0} $ 在接触点 $ x_\epsilon $ 处光滑。
• 利用边界 $ F' = F/G $、$ F'' \leq F/G^2 $ 以及条件 $ \Delta r \leq G(r) $，推导出 $ \Delta h_{\lambda_0} $ 的估计。
• 当 $ \int_0^\infty dt/G(t) < \infty $ 时，通过定义满足 $ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $ 且 $ \int dt/H(t) < \infty $ 的函数 $ H $，构造一个反例流形，导致 $ \Delta h > 1 $，从而违反最大值原理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过去除 Ratto-Rigoli-Setti 定理中关于 $ G(t) $ 的技术性假设，来弱化 Omori-Yau 最大值原理的必要条件？
• RQ2 条件 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ 是否为 Omori-Yau 最大值原理成立的最优条件？
• RQ3 当 $ \int_0^\infty dt/G(t) < \infty $ 时，即使 $ \Delta r \leq G(r) $ 成立，Omori-Yau 最大值原理会发生什么情况？
• RQ4 给定 $ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $ 且 $ \int dt/G(t) < \infty $，能否构造一个函数 $ H $ 满足 $ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $、$ 2H \leq G $ 且 $ \int dt/H(t) < \infty $？
• RQ5 新判据中省略奇数阶导数和上极限条件是否会影响最大值原理的有效性？

主要发现

• 若在 $ r(x) > 1 $ 时有 $ \Delta r(x) \leq G(r(x)) $，且 $ G \geq 1 $、$ G' \geq 0 $、$ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $，则 Omori-Yau 最大值原理在完备黎曼流形上成立。
• 条件 $ \int_0^\infty dt/G(t) = \infty $ 是最优的：若该积分有限，则存在满足 $ \Delta r \leq G(r) $ 但最大值原理不成立的流形。
• 反例构造依赖于定义一个函数 $ H $，满足 $ H \geq 1/2 $、$ H' \leq H^2 $、$ 2H \leq G $ 且 $ \int dt/H(t) < \infty $，而这种构造仅在 $ \int dt/G(t) < \infty $ 时可能实现。
• 引理的证明通过在 $ G $ 增长过快的区间上将 $ G/2 $ 修改为满足 $ H' = H^2 $ 的函数 $ 1/(a_n - t) $，从而构造出 $ H $。
• 和式 $ \sum_n (a_n - t_n)^2 - (a_n - v_n)^2 $ 有界于 $ (2/G(t_1))^2 $，确保 $ \int_B dt/H(t) < \infty $，从而确认 $ 1/H $ 的可积性。
• 本结果改进了 Ratto-Rigoli-Setti 定理，去除了条件 $ d^{2k+1}/dt^{2k+1} \sqrt{G}(0) = 0 $ 和 $ \limsup_{t\to\infty} t\sqrt{G(\sqrt{t})}/\sqrt{G(t)} < \infty $，后者已被证明是不必要的。