[论文解读] A Review of the Holographic Relation between Linearized Gravity and the First Law of Entanglement Entropy

Rasmus Jaksland|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文建立了渐近反 de Sitter 时空中线性化引力与对偶共形场论中纠缠熵第一定律之间的全息对偶。通过利用 Ryu-Takayanagi 公式，证明了共形场论侧的纠缠熵第一定律在数学上等价于反 de Sitter 时空侧的线性化爱因斯坦方程（含与不含物质），表明时空几何结构源自量子纠缠结构。

ABSTRACT

This thesis reviews the conjectured holographic relation between entanglement and gravity due to Mark van Raamsdonk and collaborators. It is accounted how the linearized Einstein equations both with and without matter in a d+1-dimensional AdS background can be derived from the first law of entanglement entropy in a d-dimensional CFT. This derivation builds on the Ryu-Takayanagi formula that relates entanglement entropy for CFT subsystems to extremal surfaces in the AdS bulk. The relation between gravity and entanglement is also corroborated by a qualitative investigation of the duality between the thermofield double state and the maximally extended AdS/Schwarzschild black hole using the Bekenstein-Hawking formula. Furthermore, this qualitative argument is generalized to generic CFT states with a classical spacetime dual using the Ryu-Takayanagi. The thesis also reviews the most relevant prerequisites for this holographic relation between gravity and entanglement: Anti-de Sitter spacetime, entanglement and entanglement entropy, gauge/gravity duality, the Ryu-Takayanagi formula, and linearized gravity.

研究动机与目标

• 通过纠缠熵第一定律，在共形场论中的量子纠缠与反 de Sitter 时空中的经典时空几何之间建立严谨且定量的联系。
• 证明 d 维共形场论中的纠缠熵第一定律意味着 (d+1) 维反 de Sitter 时空中的线性化爱因斯坦方程。
• 通过将 $\frac{1}{N}$ 修正项引入 Ryu-Takayanagi 公式，将该对偶性扩展至包含物质场的情形。
• 探讨该对偶性对理解引力如何从量子信息结构中涌现的更广泛影响。

提出的方法

• 利用 Ryu-Takayanagi 公式，将共形场论中的纠缠熵与反 de Sitter 时空中超曲面的面积联系起来。
• 在反 de Sitter 背景附近应用线性化引力微扰，推导出在 $G_N \to 0$ 极限下的第一阶爱因斯坦方程。
• 从共形场论侧推导出模哈密顿量及其变分 $\delta S_B$，并将其与体积分量中能量-动量张量的期望值联系起来。
• 全息地解释 $\delta S_B$ 和 $\delta E^{Hyp}_B$，表明其分别对应于线性化 regime 下体积分量的变分与能量通量。
• 引入 Ryu-Takayanagi 公式的 $\frac{1}{N}$ 修正项，以考虑体积分量中物质场的量子修正。
• 利用包含这些修正项的纠缠熵第一定律，推导出带有源项的线性化爱因斯坦方程，该源项对应于物质耦合的引力。

实验结果

研究问题

• RQ1 共形场论中的纠缠熵第一定律是否意味着对偶反 de Sitter 时空中的线性化爱因斯坦方程？
• RQ2 体积分量中量子物质场的引入如何影响纠缠与引力之间的全息关系？
• RQ3 纠缠熵第一定律是否可用于推导出包含物质源项的完整线性化爱因斯坦方程？
• RQ4 Ryu-Takayanagi 公式在建立量子纠缠与时空几何之间对应关系中起什么作用？
• RQ5 该对偶性在多大程度上可超越半经典 regime？其对量子引力意味着什么？

主要发现

• d 维共形场论中的纠缠熵第一定律等价于 (d+1) 维反 de Sitter 时空中的线性化爱因斯坦方程（不含物质）。
• 当在 Ryu-Takayanagi 公式中引入 $\frac{1}{N}$ 修正项时，纠缠熵第一定律对应于带有源项的线性化爱因斯坦方程，该源项代表体积分量中的物质场。
• $\delta S_B$ 和 $\delta E^{Hyp}_B$ 的全息解释确认了纠缠熵的变分与体积分量的变分一致，验证了该对偶性。
• 该推导仅依赖于 Ryu-Takayanagi 公式和纠缠熵第一定律，无需对体积分量几何结构作额外假设。
• 结果表明，半经典引力可从共形场论中的量子纠缠结构推导而出，支持了时空几何源于量子信息的观点。
• 该框架与纠缠是时空涌现的根本要素这一观点一致，且可通过高阶微扰扩展至非线性引力。