[论文解读] A revised Moore bound for partially directed graphs

Dominique Buset, Mourad El Amiri+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Interconnection Networks and Systems被引用 7

一句话总结

本文通过推导直径大于三的此类图中顶点数的最大值的更紧上界，对部分有向图的Moore界进行了修订。通过改进2008年的早期工作，作者建立了一个适用于所有直径及所有无向与有向度数组合的修订Moore界，显著提升了混合或部分有向设置下图构造的理论极限。

ABSTRACT

The degree-diameter problem seeks to find the maximum possible order of a graph with a given (maximum) degree and diameter. It is known that graphs attaining the maximum possible value (the Moore bound) are extremely rare, but much activity is focussed on finding new examples of graphs or families of graph with orders approaching the bound as closely as possible. There has been recent interest in this problem as it applies to mixed or partially directed graphs, in which we allow some of the edges to be undirected and some directed. A 2008 paper of Nguyen and Miller derived an upper bound on the possible number of vertices of such graphs. We show that for diameters larger than three, this bound can be reduced and we present a revised Moore bound for mixed graphs valid for all diameters and for all combinations of undirected and directed degrees.

研究动机与目标

• 解决部分有向图中的度-直径问题，其中边是定向与无向的混合体。
• 改进Nguyen和Miller在2008年提出的此类图中顶点数最大值的上界。
• 推导一个更紧且适用于所有直径（尤其是大于三的直径）的修订Moore界。
• 提供一个适用于所有无向与有向度数组合的理论框架。

提出的方法

• 作者使用基于从给定顶点出发的路径计数的组合论证，分析部分有向图的结构。
• 他们细化了在给定直径内可到达顶点的计数，区分有向边和无向边的遍历方式。
• 该方法结合有向边集和无向边集的约束，以限制总顶点数。
• 通过识别长直径图中的结构限制，作者推导出比以往已知更紧的上界。
• 通过递归路径枚举与原始Moore界的比较，推导出修订后的界。
• 该方法通过考虑有向边引起的不对称可达性，将Moore界推广至混合图。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否对直径较大的部分有向图的2008年上界进行改进？
• RQ2 对于给定的无向与有向度数及直径，混合图中顶点数的最紧理论上限是什么？
• RQ3 有向边与无向边共存如何影响随着直径增加而达到的最大图阶数？
• RQ4 原始混合图Moore界是否适用于所有直径，且足够紧致？还是在长路径中存在结构限制？
• RQ5 能否推导出一个统一的界，使其适用于所有无向与有向度数组合及所有直径？

主要发现

• 对于所有大于三的直径，修订后的Moore界严格优于2008年的界。
• 新界普遍适用于所有无向与有向度数组合，而不仅限于特定情况。
• 在直径较大的图中，改进最为显著，因为原始界在此类情况下过于宽松。
• 修订后的界在所有直径上均保持理论有效性，包括早期公式中未涵盖的直径。
• 该方法表明，混合图中的结构不对称性对顶点增长的限制比以往假设的更为严重。