[论文解读] A robust and stable numerical scheme for a depth-averaged Euler system

Nora Aïssiouene, Marie-Odile Bristeau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 38被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对由不可压缩欧拉方程与自由表面导出的非静力深度平均欧拉系统的鲁棒、稳定的有限体积格式。采用基于kinetic的投影-校正方法，该方法确保了平衡性、正性以及完全离散的熵不等式，即使在干态情况下也能保持稳定性，并在解析基准测试（包括抛物碗和孤立波）中验证了其收敛性和准确性。

ABSTRACT

We propose an efficient numerical scheme for the resolution of a non-hydrostatic Saint-Venant type model. The model is a shallow water type approximation of the incompressbile Euler system with free surface and slightly differs from the Green-Naghdi model. The numerical approximation relies on a kinetic interpretation of the model and a projection-correction type scheme. The hyperbolic part of the system is approximated using a kinetic based finite volume solver and the correction step implies to solve an elliptic problem involving the non-hydrostatic part of the pressure. We prove the numerical scheme satisfies properties such as positivity, well-balancing and a fully discrete entropy inequality. The numerical scheme is confronted with various time-dependent analytical solutions. Notice that the numerical procedure remains stable when the water depth tends to zero.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且准确的非静力深度平均欧拉模型数值格式，以扩展经典Saint-Venant系统。
• 确保该格式维持平衡性、水深正性，并满足完全离散的熵不等式。
• 鲁棒处理湿/干界面，尤其在水深趋近于零时。
• 通过时间依赖的解析解对格式进行验证，包括孤立波与抛物碗构型。
• 通过校正步骤的变分形式，为向二维非结构化网格的扩展提供基础。

提出的方法

• 该格式采用分数步长投影-校正策略，将系统分解为双曲子步与椭圆子步。
• 双曲部分采用基于kinetic的有限体积方法求解，确保一致性和稳定性。
• 校正步骤涉及通过有限差分离散化求解非静力压力的离散椭圆问题。
• 该方法被证明满足完全离散的熵不等式，并保持离散inf-sup条件。
• 边界条件通过通量强制处理，尤其适用于时间依赖的流入情景（如进入的孤立波）。
• 对深度平均欧拉系统的kinetic解释使得源项与非静力效应的数值处理更加鲁棒。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非静力深度平均欧拉模型设计一种鲁棒的数值格式，以保持诸如平衡性与正性等关键物理性质？
• RQ2 如何利用有限差分法稳定且准确地离散涉及非静力压力的校正步骤？
• RQ3 当水深趋近于零时（尤其在湿/干界面处），该格式是否仍能保持稳定性和收敛性？
• RQ4 对于时间依赖的解析解（如孤立波与抛物碗流）而言，该格式的收敛速率如何？
• RQ5 能否通过校正步骤的变分形式将该格式扩展至二维非结构化网格？

主要发现

• 该数值格式在水深趋近于零时仍保持稳定与准确，实现了对湿/干界面的鲁棒处理。
• 在抛物碗测试案例中，水深的L¹误差随时间保持有界，并且一阶与二阶格式均以预期的理论速率收敛。
• 在孤立波测试案例中，无论内部区域还是边界流入构型，收敛速率均与理论阶数一致，误差计算基于最多3200个单元。
• 该格式在两个基准问题中均实现了空间与时间的二阶收敛，证实了其准确性和鲁棒性。
• 完全离散格式满足离散熵不等式，证实了该格式的热力学一致性。
• 该方法在不同网格细化程度与边界条件下均表现出鲁棒性，包括通过流入边界进入的孤立子情形。