[论文解读] A Scaling Limit for Limit Order Books Driven by Hawkes Processes

Ulrich Horst, Wei Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文为由霍克斯随机测度驱动的限价订单簿（LOB）模型建立了扩散极限，其中订单流依赖于价格和成交量。在单一时间尺度下，极限动态收敛于一个耦合的随机微分方程-常微分方程（SDE-ODE）系统：最优买价/卖价遵循扩散过程，成交量密度通过希尔伯特空间中的常微分方程演化，强度过程满足伏尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程，从而在无需多时间尺度的前提下，提供了一个非退化的、完全耦合的宏观模型。

ABSTRACT

In this paper we derive a scaling limit for an infinite dimensional limit order book model driven by Hawkes random measures. The dynamics of the incoming order flow is allowed to depend on the current market price as well as on a volume indicator. With our choice of scaling the dynamics converges to a coupled SDE-ODE system where limiting best bid and ask price processes follows a diffusion dynamics, the limiting volume density functions follows an ODE in a Hilbert space and the limiting order arrival and cancellation intensities follow a Volterra-Fredholm integral equation.

研究动机与目标

• 开发一个由霍克斯随机测度驱动的无限维限价订单簿的扩散极限，以捕捉订单流中的聚类现象和交叉依赖性。
• 消除先前流体极限模型中依赖多时间尺度（如快速撤单与慢速市价单）的需要。
• 推导出一个非退化的宏观极限，其中买卖价差保持严格为正，从而确保有意义的价格与成交量动态。
• 将极限动态表征为一个完全耦合的随机微分方程、希尔伯特空间中的常微分方程以及伏尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程的系统。
• 在标准假设下，通过局部鞅问题方法和紧致性论证，证明极限系统的唯一性与收敛性。

提出的方法

• 模型使用霍克斯随机测度描述订单到达与撤单动态，允许强度依赖于价格与成交量。
• 采用单一时间尺度的缩放，其中最小价格变动单位（tick size）与订单规模趋于零，同时到达率增加，以保持有限阶矩统计量。
• 通过矩界和函数极限定理，证明价格-成交量过程序列在斯科罗赫德空间中的紧致性。
• 通过证明任意聚点解一个与路径相关生成元相关的局部鞅问题，确立弱收敛性。
• 极限系统结合了描述最优买卖价的随机微分方程、希尔伯特空间中描述成交量密度函数的常微分方程，以及描述强度的伏尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程。
• 在额外条件下（包括价差严格为正）证明解的唯一性，从而确保极限的非退化性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖多时间尺度的前提下，为由霍克斯过程驱动的完整限价订单簿推导出一个扩散极限？
• RQ2 当订单流通过霍克斯随机测度表现出聚类与交叉依赖性时，极限动态的形式是什么？
• RQ3 极限系统是否保持非退化，特别是能否维持严格为正的价差？
• RQ4 在宏观极限中，极限价格、成交量与强度过程如何相互作用？
• RQ5 极限动态能否被表征为一个局部鞅问题的解，从而确保收敛性与唯一性？

主要发现

• 极限动态收敛于一个完全耦合的系统：买卖价遵循由随机微分方程控制的扩散过程。
• 成交量密度函数在希尔伯特空间中按常微分方程演化，捕捉了各价格水平上挂单分布的动态。
• 订单到达与撤单的强度满足伏尔泰拉-弗雷德霍姆积分方程，反映了记忆效应与反馈机制。
• 在标准假设下，极限中价差保持严格为正，确保系统的非退化性。
• 极限过程解一个与路径相关生成元相关的局部鞅问题，且在附加条件下解唯一。
• 通过紧致性与弱收敛性论证，建立了依分布收敛性，且在极限中局部鞅项几乎必然收敛。