[论文解读] A Semi-Algebraic Framework for Verification and Synthesis of Control Barrier Functions

Andrew L. Clark|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2022

Formal Methods in Verification被引用 8

一句话总结

本文提出了一种基于Positivstellensatz的半代数框架，用于非线性控制系统中控制障碍函数（CBF）的精确验证与综合。该框架将凸的平方和（SOS）规划问题形式化，以在各种约束条件下验证CBF，包括执行器限制、三角函数动力学以及Euler-Lagrange系统，并提出了三种综合算法，其中包括一种新颖的基于牛顿法的算法，具有局部二次收敛性，确保了复杂系统中可验证的安全性保证。

ABSTRACT

Safety is a critical property for control systems in medicine, transportation, manufacturing, and other applications, and can be defined as ensuring positive invariance of a predefined safe set. This paper investigates the problems of verifying positive invariance of a semi-algebraic set as well as synthesizing sets that can be made positive invariant through Control Barrier Function (CBF)-based control. The key to our approach consists of mapping conditions for positive invariance to sum-of-squares constraints via the Positivstellensatz from real algebraic geometry. Based on these conditions, we propose a framework for verifying safety of CBF-based control including single CBFs, high-order CBFs, multi-CBFs, and systems with trigonometric dynamics and actuation constraints. In the area of synthesis, we propose algorithms for constructing CBFs, namely, an alternating-descent approach and a local CBF approach. We evaluate our approach through case studies on quadrotor UAV and power converter test systems.

研究动机与目标

• 为解决在具有复杂动力学和约束的非线性系统中，控制障碍函数（CBF）缺乏完整且可验证的验证方法的问题。
• 克服现有平方和（SOS）启发式方法的不完备性，这些方法可能无法验证有效的CBF。
• 开发能够保证收敛至有效CBF并具备可验证安全特性的综合算法。
• 将CBF的验证与综合扩展至高阶CBF、CBF的并集与交集，以及具有三角函数和Euler-Lagrange动力学的系统。
• 为安全关键控制系统的综合提供一个统一、精确且计算上可行的框架。

提出的方法

• 利用代数几何中的Positivstellensatz，推导出验证某个函数是否为有效CBF的精确、凸的SOS条件。
• 应用Farkas引理及其推广形式，通过将验证问题简化为在控制输入超立方体顶点处检查条件，来处理具有执行器约束的系统。
• 通过将李导数条件重新表述为多项式不等式组，推导出用于验证具有Euler-Lagrange动力学系统中CBF的精确SOS规划。
• 提出一种在函数空间中的牛顿法用于CBF综合，证明其可实现局部二次收敛率。
• 引入一种交替下降算法和一种针对具有定点和无漂移动力学的系统的局部CBF构造方法。
• 将框架推广以处理多个CBF的并集与交集、高阶CBF，以及半代数安全集。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用代数几何工具，对具有执行器约束的非线性系统中的CBF实现精确且完整的验证？
• RQ2 如何利用Positivstellensatz，为具有非多项式动力学的系统中的CBF验证，形式化凸的平方和（SOS）规划？
• RQ3 哪些综合算法能够保证收敛至有效CBF并具备可验证的安全性，特别是在高阶或受限系统中？
• RQ4 该框架能否被扩展以处理如Euler-Lagrange和三角函数系统等复杂系统动力学，并保证正确性？
• RQ5 基于牛顿法的CBF综合方法的收敛速率是多少？是否能确保收敛至有效CBF的局部收敛？

主要发现

• CBF的验证问题被证明是NP难的，且现有基于SOS的方法存在不完备性，凸显了精确方法的必要性。
• 所提出的基于Positivstellensatz的框架为一大类系统（包括具有执行器约束和Euler-Lagrange动力学的系统）提供了精确且凸的SOS验证条件。
• 提出了一种基于牛顿法的CBF综合算法，可保证以二次速率局部收敛至有效CBF，这是文献中的新成果。
• 该框架成功扩展至高阶CBF、CBF的并集与交集，以及通过充分的SOS条件处理具有三角函数动力学的系统。
• 交替下降法与局部CBF综合方法推广了先前的方法，适用于无漂移和具有定点的系统。
• 理论与仿真结果证实了该框架在实际安全关键系统中的适用性，包括自动驾驶车辆和机器人机械臂。