[论文解读] A Semiregularity Map for Modules and Applications to Deformations

Ragnar-Olaf Buchweitz, Hubert Flenner|ArXiv.org|Dec 31, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文利用余切复形的幂、Atiyah类和迹映射，为复空间上的完美复形构造了一个通用的半正则映射，将Illusie的示性类推广至解析设置。该研究提供了一个统一的框架，推广了Bloch的半正则映射与无穷小Abel-Jacobi映射，并在模的形变理论中具有应用，对Hilbert概形与变性Hodge猜想具有重要意义。

ABSTRACT

This paper contains the details and complete proofs of our earlier announcement in math.AG/9907004 . We construct a general semiregularity map for algebraic cycles as asked for by S. Bloch in 1972. The existence of such a semiregularity map has well known consequences for the structure of the Hilbert scheme and for the variational Hodge conjecture. Aside from generalizing and extending considerably previously known results in this direction, we give new applications to deformations of modules that encompass, for example, results of Artamkin and Mukai. The formation of the semiregularity map here involves powers of the cotangent complex, Atiyah classes, and trace maps, and is defined not only for subspaces of manifolds but for perfect complexes on arbitrary complex spaces. It generalizes in particular Illusie's treatment of the Chern character to the analytic context and specializes to Bloch's earlier description of the semiregularity map for locally complete intersections as well as to the infinitesimal Abel-Jacobi map for submanifolds.

研究动机与目标

• 为1972年S. Bloch最初寻求的代数周期构造一个通用的半正则映射。
• 利用导出代数几何工具，将Illusie对示性类的处理推广至解析范畴。
• 统一并推广现有的半正则映射结果，包括Bloch对局部完全交的半正则映射以及无穷小Abel-Jacobi映射。
• 将该映射应用于模的形变理论，涵盖Artamkin与Mukai的结果。
• 为Hilbert概形的结构与变性Hodge猜想提供新的洞见。

提出的方法

• 利用余切复形的幂在导出设置中定义半正则映射。
• 以复空间上完美复形相关的Atiyah类为核心要素。
• 引入迹映射，将上同调不变量与周期类联系起来。
• 将构造应用于完美复形，而不仅限于子流形或局部完全交。
• 确立该映射为Bloch半正则映射与无穷小Abel-Jacobi映射的推广。
• 利用导出范畴与解析几何的框架，确保其在代数簇之外的广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为复空间上的任意完美复形构造一个通用的半正则映射？
• RQ2 该半正则映射如何与无穷小Abel-Jacobi映射及Bloch的原始构造相关联？
• RQ3 此类映射对模的形变理论有何影响？
• RQ4 该构造如何将Illusie的示性类在解析范畴中推广？
• RQ5 该映射如何促进对Hilbert概形与变性Hodge猜想的理解？

主要发现

• 该半正则映射对复空间上的所有完美复形均有定义，不仅限于子流形或局部完全交。
• 该映射推广了Bloch对局部完全交的半正则映射，并在子流形情形退化为无穷小Abel-Jacobi映射。
• 通过导出函子与迹映射，该构造将Illusie的示性类推广至解析设置。
• 该映射为研究模的形变提供了新工具，恢复并扩展了Artamkin与Mukai的结果。
• 该映射的存在性支持了Hilbert概形的结构，并为变性Hodge猜想提供了新视角。
• 该框架完全严谨，包含完整证明，建立在作者先前在math.AG/9907004中的公告基础之上。