[论文解读] A sequential RPF theorem and its applications to limit theorems for time dependent dynamical systems and inhomogeneous Markov chains

Yeor Hafouta|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 2

一句话总结

本文为复算子建立了序列 Ruelle-Perron-Frobenius（RPF）定理，以推导序列动力系统（SDS）和非时齐马尔可夫链的精细极限定理——如局部中心极限定理和 Berry-Esseen 估计。通过利用复射影希尔伯特度量的压缩性质，证明了 RPF 三元组在扰动下的稳定性，从而实现了方差增长条件的分析，并将经典极限定理扩展至非平稳、时变设置。

ABSTRACT

In this paper we will prove various probabilistic limit theorems for some classes of sequential dynamical systems (SDS) and inhomogeneous Markov chains. Our proofs utilize a certain sequential Ruelle-Perron-Frobenius theorem for complex operators, which, as in \cite{Nonconventional limit theorems and random dynamics, WS 2018}, is proved using contraction properties of a complex version of the projective Hilbert metric that was developed in \cite{Cones and gauges in complex spaces: Spectral gaps and complex Perron-Frobenius theory, Ann. Math. 171 (2010)} and \cite{L. Dubois, Projective metrics and contraction principles for complex cones, J. London Math. Soc. 79 (2009)}. We will also prove a certain type of stability theorem for the corresponding Ruelle-Perron-Frobenius triplets with respect to perturbation of the transfer and Markov operators, which leads to natural conditions for linear growth of the corresponding variances. Some of our general results mostly have applications for dynamical systems and Markov chains in random non-stationary environments, while the conditions of the other results hold true for general type of SDS and inhomogeneous Markov chains. This paper is the first time that finer limit theorems such the local central limit theorem and the Berry Esseen theorem are proved in the SDS setup.

研究动机与目标

• 将经典极限定理（如中心极限定理与 Berry-Esseen 估计）推广至非平稳、时变的动力系统与非时齐马尔可夫链。
• 为分析此类系统，建立用于复算子的序列 Ruelle-Perron-Frobenius 定理，作为基础工具。
• 证明转移算子与马尔可夫算子扰动下 RPF 三元组的稳定性，从而支持方差增长的分析。
• 提供在非平稳设置中方差线性增长的条件，这对极限定理至关重要。

提出的方法

• 利用复射影希尔伯特度量分析序列动力系统中转移算子的谱性质。
• 应用先前关于复锥的压缩原理，证明在扰动下 RPF 三元组的收敛性。
• 为作用于时变空间的转移算子族建立序列 RPF 定理。
• 推导 RPF 三元组的稳定性界，将其与非时齐马尔可夫链中方差增长速率相联系。
• 通过验证谱间隙与算子范数的条件，将理论应用于证明极限定理。
• 利用该框架推导定量估计，包括 Berry-Esseen 速率与局部中心极限定理，在 SDS 与非时齐马尔可夫链的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有时变动力的序列动力系统中，能否建立局部中心极限定理？
• RQ2 在非平稳环境中，非时齐马尔可夫链中方差线性增长的条件是什么？
• RQ3 如何通过复算子理论将 Ruelle-Perron-Frobenius 定理推广至序列系统？
• RQ4 在时变设置下，RPF 三元组表现出何种扰动稳定性性质？
• RQ5 在非独立同分布的序列过程中，Berry-Esseen 定理在何种条件下可被证明？

主要发现

• 本文首次为序列动力系统提供了局部中心极限定理的证明，将经典结果推广至非平稳设置。
• 在序列动力系统的背景下，首次建立了 Berry-Esseen 定理，提供了收敛至正态分布的定量速率。
• 证明了在转移算子与马尔可夫算子扰动下 RPF 三元组的稳定性，从而支持非平稳系统中的鲁棒性分析。
• 该框架为非时齐马尔可夫链中方差的线性增长提供了自然条件，将算子稳定性与统计行为相联系。
• 复射影希尔伯特度量压缩方法为分析序列系统中的时变谱间隙提供了强大工具。
• 结果广泛适用于 SDS 与非时齐马尔可夫链，特定条件可确保精细极限定理的有效性。