[论文解读] A Simple Gap-Producing Reduction for the Parameterized Set Cover Problem

Bingkai Lin|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对参数化集合覆盖问题的简单、产生间隙的约化方法，在强指数时间假设（SETH）下改进了不可近似性界。通过使用(n,k)-通用集合构造一个构件，将一个解大小为k的小规模实例转化为新实例，其中区分opt ≤ k与opt > (1−o(1))·k√(log n/log log n)需要f(k)·n^{k−ϵ}时间，显著强化了先前结果。

ABSTRACT

Given an $n$-vertex bipartite graph $I=(S,U,E)$, the goal of set cover problem is to find a minimum sized subset of $S$ such that every vertex in $U$ is adjacent to some vertex of this subset. It is NP-hard to approximate set cover to within a $(1-o(1))\ln n$ factor. If we use the size of the optimum solution $k$ as the parameter, then it can be solved in $n^{k+o(1)}$ time. A natural question is: can we approximate set cover to within an $o(\ln n)$ factor in $n^{k-ε}$ time? In a recent breakthrough result, Karthik, Laekhanukit and Manurangsi showed that assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for any computable function $f$, no $f(k)\cdot n^{k-ε}$-time algorithm can approximate set cover to a factor below $(\log n)^{\frac{1}{poly(k,e(ε))}}$ for some function $e$. This paper presents a simple gap-producing reduction which, given a set cover instance $I=(S,U,E)$ and two integers $k

研究动机与目标

• 在参数化设置下弥合已知不可近似性结果与贪心算法的(1+ln n)近似比之间的差距。
• 开发一种简单、基础的约化技术，无需依赖复杂的编码理论，即可在集合覆盖实例中产生大间隙。
• 证明在SETH下，参数化集合覆盖无法在nk−ϵ时间内近似到o(ln n)因子以内。
• 建立小全域集的集合覆盖困难性蕴含一般实例的困难性，从而简化证明结构。

提出的方法

• 使用(n,k)-通用集合构建一个间隙生成构件，以模拟k部图中的团检测。
• 将k-团实例约化为集合覆盖实例，其中存在k-团意味着解大小为(k choose 2)，而不存在k-团则意味着解大得多。
• 采用一种新颖的约化方法，独立于初始假设放大解大小的间隙，与以往依赖AG码的工作不同。
• 将该构件应用于原始集合覆盖实例，将其转换为新实例，其中全域大小|U′| = |U|hk · |S|O(1)，时间复杂度为|U|hk · |S|O(1)。
• 利用构件的结构证明：若原实例无大小为k的解，则任何覆盖新全域的解大小必须大于h。
• 利用约化可由常数深度电路计算的特性，结合Rossman的k-团检测结果推导下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在SETH下，我们能否在参数化集合覆盖中实现优于(log n)^{1/poly(k)}的不可近似性因子？
• RQ2 是否存在一种简单、基础的约化方法，避免使用AG码等复杂工具，以在集合覆盖中产生大间隙？
• RQ3 小全域集的集合覆盖困难性是否可推出一般实例的困难性，从而简化不可近似性证明？
• RQ4 该约化的常数深度电路结构是否能为FPT算法提供更强的下界？
• RQ5 该技术能否扩展以排除在W[1] ≠ FPT假设下f(k)·N^{O(1)}时间内的(log N)^{1/ϵ(k)}-近似FPT算法？

主要发现

• 假设SETH成立，任何f(k)·N^{k−ϵ}时间的算法都无法区分解大小opt ≤ k与opt > (1/(1+δ))·(log N/log log N)^{1/k}的集合覆盖实例，其中δ ∈ (0,1)。
• 本文实现了显著改进的不可近似性因子(1−o(1))·k√(log n/log log n)，超越了先前工作中得到的(log n)^{1/poly(k)}界。
• 该约化方法基础且仅使用(n,k)-通用集合，避免了以往工作所依赖的复杂工具如AG码。
• 该约化可由常数深度电路计算，从而导出新下界：不存在大小为f(k)·n^{o(√k)}的常数深度电路可解决该问题。
• 在W[1] ≠ FPT假设下，本文排除了对任意无界可计算函数ϵ，f(k)·N^{O(1)}时间内的(log N)^{1/ϵ(k)}-近似FPT算法。
• 该结果表明，证明FPT不可近似性可简化为证明小全域集集合覆盖的困难性，从而简化整体证明框架。