[论文解读] A simple model of a limit order book

Elena Yudovina|arXiv (Cornell University)|May 31, 2012

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 6被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种简化的、马尔可夫的限价订单簿模型，其中订单到达与市场状态无关，导致相变现象：仅在临界价格 $\kappa_b$ 以下有有限数量的买入单被撮合，仅在 $\kappa_a$ 以上有有限数量的卖出单被撮合，而区间 $(\kappa_b, \kappa_a)$ 内则在双方均出现无限次空单循环。该模型在订单价格服从均匀分布的假设下，推导出 $\kappa_b$ 和 $\kappa_a$ 的显式表达式，并推测正 recurrence，从而实现对最高买入价与最低卖出价的稳态分析。

ABSTRACT

We formulate a simplified model of a limit order book, in which the arrival process is independent of the current state. We prove a phase transition result: there exist prices $κ_b$ and $κ_a$ such that, for any $ε> 0$, only finitely many bid (ask) departures occur at prices below $κ_b-ε$ (above $κ_a+ε$), while the interval $(κ_b+ε, κ_a - ε)$ infinitely often contains no bids, and infinitely often contains no asks. We derive expressions for $κ_b$ and $κ_a$, which we solve in the case of uniform arrivals. We conjecture the positive recurrence of a modified model, and find the steady-state distribution of the highest bid and of the lowest ask assuming the positive recurrence.

研究动机与目标

• 开发一个易于处理的、马尔可夫的限价订单簿模型，避免对交易者行为施加复杂假设。
• 分析在独立到达过程下（与当前市场状态无关）买卖价的长期行为。
• 基于价格与市场清算水平的距离，识别订单撮合频率的相变。
• 在订单价格服从均匀分布的情况下，推导出临界阈值 $\kappa_b$ 和 $\kappa_a$ 的显式表达式。
• 推测修改后模型的正 recurrence，并推导最高买入价与最低卖出价的稳态分布。

提出的方法

• 将限价订单簿建模为连续时间马尔可夫过程，买入单与卖出单的到达独立于当前订单簿状态。
• 定义动态规则：若新订单的报价穿过买卖价差，则以当前最优价格撮合；否则加入订单簿。
• 使用李雅普诺夫函数分析稳定性与 recurrence，尤其针对修改后的模型。
• 采用分箱技术近似连续订单簿，并通过离散状态分析推导 $\kappa_b$ 和 $\kappa_a$ 的界。
• 通过模拟系统可视化最高买入价与最低卖出价的联合分布，提示存在极限密度。
• 在均匀到达分布下，利用累积分布函数与积分推导 $\kappa_b$ 和 $\kappa_a$ 的解析表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在订单到达独立的限价订单簿模型中，是否会发生相变，即仅在临界价格区间附近的订单被无限次撮合？
• RQ2 临界阈值 $\kappa_b$ 和 $\kappa_a$ 的精确值是什么，用以区分被有限次撮合与无限次撮合的订单？
• RQ3 能否建立修改后模型的正 recurrence，从而保证稳态分布的存在？
• RQ4 在正 recurrence 假设下，最高买入价与最低卖出价的稳态分布是什么？
• RQ5 限价订单簿的形状——特别是距离最优买卖价不同距离处的订单数量——随时间如何演变？

主要发现

• 存在相变：对任意 $\epsilon > 0$，在 $\kappa_b - \epsilon$ 以下仅有有限数量的买入单被撮合，而在 $\kappa_a + \epsilon$ 以上仅有有限数量的卖出单被撮合。
• 临界阈值由下式给出：$\kappa_b = \sup\{x : \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy \leq \int_x^\infty f_a(y)\,dy\}$ 与 $\kappa_a = \inf\{x : \int_x^\infty f_a(y)\,dy \leq \int_{-\infty}^x f_b(y)\,dy\}$。
• 在均匀到达分布下，$\kappa_b = \frac{1}{4}$ 且 $\kappa_a = \frac{3}{4}$，由累积到达率的平衡关系推导得出。
• 模型推测修改后版本的正 recurrence，这将意味着最高买入价与最低卖出价存在极限联合分布。
• 模拟结果提示最高买入价与最低卖出价的联合分布存在极限曲面，尽管未推导出闭式表达式。
• 最高买入价附近的买单数量会发生波动，当最高买入价处于高密度分箱时会出现短暂尖峰，且在均匀到达假设下，最优价格附近的买单分布稀疏。