[论文解读] A spectral-infinite-element solution of Poisson's equation: an application to self gravity

Hom Nath Gharti, Jeroen Tromp|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2017

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文提出了一种谱-无穷元方法，将地球内部的谱元与外部引力场的映射无穷元相结合，实现了对无界域中泊松方程的高精度、高效率求解。该方法通过在谱元中使用高斯-勒让德-洛巴托积分，在无穷方向使用高斯-拉道积分，实现了高精度计算，并通过与均匀球体及PREM模型的解析解对比验证了结果，误差极小。

ABSTRACT

We solve Poisson's equation by combining a spectral-element method with a mapped infinite-element method. We focus on problems in geostatics and geodynamics, where Earth's gravitational field is determined by Poisson's equation inside the Earth and Laplace's equation in the rest of space. Spectral elements are used to capture the internal field, and infinite elements are used to represent the external field. To solve the weak form of Poisson/Laplace equation, we use Gauss-Legendre-Lobatto quadrature in spectral elements inside the domain of interest. Outside the domain, we use Gauss-Radau quadrature in the infinite direction, and Gauss-Legendre-Lobatto quadrature in the other directions. We illustrate the efficiency and accuracy of the method by comparing the gravitational fields of a homogeneous sphere and the Preliminary Reference Earth Model (PREM) with (semi-)analytical solutions.

研究动机与目标

• 开发一种高阶数值方法，用于求解与地球静态和地球动力学相关的无界域中的泊松方程。
• 解决在引力场模拟中数值施加无穷远处边界条件的挑战。
• 实现在地球物理问题（如冰川后反弹和地震波传播）中自引力与连续介质力学的精确耦合。
• 通过与均匀球体和PREM地球模型的半解析解对比，验证该方法的准确性。
• 通过并行实现展示该方法的高效性与稳定性，计算开销极低。

提出的方法

• 该方法将内部域的谱元与外部场的映射无穷元相结合，利用坐标上升法将无穷区域映射为有限计算单元。
• 在谱元中应用高斯-勒让德-洛巴托积分，以在内部域中实现高阶精度。
• 在无穷方向使用高斯-拉道积分，而在其他方向使用高斯-勒让德-洛巴托积分，以保持一致性和效率。
• 采用基于节点的谱元方法求解泊松方程和拉普拉斯方程的弱形式，利用对角质量矩阵，实现高效的时间域模拟。
• 在地球模型与无穷元层之间添加过渡层，以提高地表附近的计算精度。
• 使用PETSc实现并行计算，并通过ParaView/VTK进行可视化，确保可扩展性与可复现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 谱-无穷元方法能否在三维无界域中准确求解自引力的泊松方程？
• RQ2 与均匀球体和PREM地球模型的半解析解相比，该方法的性能如何？
• RQ3 每个单元仅使用三个高斯-勒让德-洛巴托点对解的精度与稳定性有何影响？
• RQ4 该方法能否高效地与连续介质力学求解器耦合，用于地球动力学模拟？
• RQ5 在地球表面附近及之外，添加无穷元层对引力场计算精度有何影响？

主要发现

• 谱-无穷元方法在均匀球体的引力势计算中与解析解高度一致，径向剖面误差低于0.1%。
• 对于PREM模型，计算得到的引力加速度与半解析解一致，表现为向核幔边界的线性增加，以及在地球表面附近保持近似恒定。
• 即使每个单元仅使用三个高斯-勒让德-洛巴托点，方法仍保持高精度，表明对光滑解具有极高的收敛速率。
• 在扩展模型（r = 4000 m）上添加无穷元层后，结果与解析解无法区分，证实了该方法在太空区域的鲁棒性。
• 该方法稳定且高效，无穷元层的计算开销可忽略不计，适用于大规模地球物理模拟。
• 该方法可直接与连续介质力学求解器耦合，避免了迭代过程，支持长周期地震与冰川均衡调整模拟。