[论文解读] A spectral method in space and time to solve the advection-diffusion and wave equations in a bounded domain

J. Pétri|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2014

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出一种在空间和时间上均采用谱方法的全谱方法，利用切比雪夫多项式求解有界区域内的线性对流-扩散方程和波动方程。该方法实现了谱精度，并对空间和时间采用对称处理，尽管矩阵求逆限制了可扩展性，尤其在三维或高分辨率情况下。

ABSTRACT

The advection-diffusion and wave equations are the fundamental equations governing any physical law and therefore arise in many areas of physics and astrophysics. For complex problems and geometries, only numerical simulations can give insight into quantitative and accurate behavior of the seeked solutions. The standard numerical algorithm to solve partial differential equations is to split the space and time discretisation separately into different uncorrelated methods. Time is usually advanced by explicit schemes, or, for too restrictive time steps, by implicit or semi-implicit algorithms. This separate time and space slicing is artificial and sometimes unpractical. Indeed, treating space and time directions symmetrically and simultaneously without splitting is highly recommended in some problems like diffusion. It is the purpose of this work to present a simple numerical algorithm to solve the standard linear scalar advection-diffusion and wave equations using a fully spectral method in a two-dimensional Cartesian $(x,t)$ bounded space-time domain. Generalization in three-dimensions $(x,y,t)$ is shown for the pure diffusion problem. The basic idea is to expand the unknown function in Chebyshev polynomials for the spatial variables $(x,y)$ as well as for the time variable $t$. We show typical examples and demonstrate the spectral accuracy of the method. The great advantage of fully spectral methods resides in their high-accuracy for a relatively small number of grid points (for sufficiently smooth solutions) compared to standard time-stepping techniques.

研究动机与目标

• 开发一种完全谱的数值方法，对有界区域内的线性偏微分方程实现空间和时间的对称处理。
• 通过切比雪夫展开展示在空间和时间变量中谱方法的可行性与精度。
• 通过避免空间和时间离散化之间的算子分裂，解决传统时间推进格式的局限性。
• 在各种边界条件下，对标准测试问题（对流、扩散和波动方程）评估该方法的性能。
• 识别计算瓶颈，特别是矩阵求逆带来的高内存和时间开销，并建议通过迭代求解器进行未来改进。

提出的方法

• 在二维或三维笛卡尔区域中，对空间（x, y）和时间（t）变量使用切比雪夫多项式展开解。
• 在切比雪夫-高斯-洛巴托节点处采用配点法，将偏微分方程转化为谱系数的代数方程组。
• 使用伽辽金法或配点法，结合tau法或罚函数法，以施加边界和初始条件。
• 构建微分矩阵（乘法矩阵），以在谱空间中表示空间和时间的导数。
• 通过直接矩阵求逆求解得到的大型稀疏线性系统，以获得解系数。
• 通过将谱基和矩阵运算扩展至（x, y, t）域，将方法推广至二维空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域内，是否能够通过空间和时间的全谱方法实现对线性对流-扩散方程和波动方程的高精度求解？
• RQ2 与传统时间推进方法相比，谱方法中对空间和时间的对称处理在精度和稳定性方面有何表现？
• RQ3 在多维问题中，直接矩阵求逆在谱方法中的计算限制是什么？
• RQ4 该方法在二维和三维配置中对光滑解的谱收敛性能够保持到何种程度？
• RQ5 该方法能否扩展至非均匀扩散系数和复杂边界条件（如出射波或反射波）？

主要发现

• 该方法实现了谱收敛，对于（x,t）中129×129的网格点，波动方程的相对误差降至约10⁻¹¹。
• 对于二维扩散方程，17×17×17的分辨率下误差仅为1.065×10⁻¹³，证实了谱精度。
• 矩阵求逆带来的内存和计算成本严重限制了分辨率，三维情况下33×33×33为最大可行分辨率。
• 即使在中等网格尺寸下，该方法仍保持高精度，显示出谱方法相对于标准有限差分格式的优势。
• 空间和时间的对称处理使得边界条件能够一致施加，并避免了时间与空间算子的人为分裂。
• 该算法可轻松扩展至非均匀扩散系数，并可通过进一步开发适用于柱坐标或球坐标几何。