[论文解读] A ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture

Jonathan Rosenberg, Stephan Stolz|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 1994

Advanced Operator Algebra Research被引用 24

一句话总结

本文提出了一种格罗莫夫-劳森猜想的‘稳定’版本，即当且仅当其基本群的群 $C^*$-代数上的狄拉克算子指标在 $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ 中为零时，一个维度 $n \geq 5$ 的闭自旋流形 $M$ 在与博特定理流形 $B$（代表 $KO_8(\text{pt})$ 中周期性生成元的8维流形）取积后，会 admits 一个正 scalar curvature 度量。作者使用 $KO$-理论、 bordism 和装配映射，证明了该稳定猜想对所有基本群有限的自旋流形以及许多基本群无限的自旋流形成立。

ABSTRACT

We discuss a conjecture of Gromov and Lawson, later modified by Rosenberg, concerning the existence of metrics of positive scalar curvature. It says that a closed spin manifold $M$ of dimension $n\ge 5$ has such a metric if and only if the index of a suitable ``Dirac" operator in $KO_n(C^* (π_1(M)))$, the real $K$-theory of the group $C^*$-algebra of the fundamental group of $M$, vanishes. It is known that the vanishing of the index is necessary for existence of a positive scalar curvature metric on $M$, but this is known to be a sufficient condition only if $π_1(M)$ is the trivial group, $\Bbb Z/2$, an odd order cyclic group, or one of a fairly small class of torsion-free groups. \par We note that the groups $KO_n(C^*(π))$ are periodic in $n$ with period $8$, whereas there is no obvious periodicity in the original geometric problem. This leads us to introduce a ``stable'' version of the Gromov-Lawson conjecture, which makes the weaker statement that the product of $M$ with enough copies of the ``Bott manifold" $B$ has a positive scalar curvature metric if and only if the index of the Dirac operator on $M$ vanishes. (Here $B$ is a simply connected $8$-manifold which represents the periodicity element in $KO_8(pt)$.) We prove the stable Gromov-Lawson conjecture for all spin manifolds with finite fundamental group and for many spin manifolds with infinite fundamental group.

研究动机与目标

• 为解决原始格罗莫夫-劳森猜想在基本群较复杂时作为正 scalar curvature 充分条件的局限性。
• 通过引入博特定理流形 $B$，解决几何问题中缺乏周期性的问题，提出稳定版本。
• 证明该稳定猜想对所有基本群有限的自旋流形以及许多基本群无限的自旋流形成立。
• 通过装配映射建立 $KO$-理论、 bordism 与正 scalar curvature 度量存在性之间的框架。
• 阐明狄拉克算子指标在正 scalar curvature 障碍理论中的作用，特别是在非单连通和非自旋的万有覆盖情形下。

提出的方法

• 引入博特定理流形 $B$，一个单连通的8维流形，代表 $KO_8(\text{pt})$ 中的周期性元素，以稳定几何问题。
• 定义稳定格罗莫夫-劳森猜想：存在某个 $k$，使得 $M$ 在与 $B^k$ 取积后 admits 正 scalar curvature 度量，当且仅当其狄拉克算子在 $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ 中的指标为零。
• 利用 $KO_n(C^*(\pi))$ 的8周期性，将稳定条件与原始指标障碍联系起来。
• 应用 bordism 定理，将正 scalar curvature 度量的存在性与 $B\pi$ 的 $KO$-同调联系起来，特别是 $\widetilde{KO}_n(B\pi)$。
• 使用手术定理证明：若指标为零，则 $M \times B$ admits 正 scalar curvature 度量，利用了 $B$ 本身具有正 scalar curvature 的事实。
• 通过在循环子群上归纳和表示环的性质，证明有限基本群情形下的稳定猜想，即 $\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $KO_n(C^*(\pi_1(M)))$ 中狄拉克算子指标的消失是否意味着 $M$ 在与博特定理流形 $B$ 取积后会 admits 正 scalar curvature 度量？
• RQ2 能否证明有限基本群的自旋流形满足稳定格罗莫夫-劳森猜想？
• RQ3 对于基本群无限的自旋流形，特别是具有无 torsion 或循环子群的情形，该稳定猜想是否成立？
• RQ4 如何将 $KO$-理论的周期性与正 scalar curvature 几何问题联系起来？
• RQ5 装配映射与 $KO$-同调在刻画 admits 正 scalar curvature 度量的流形 bordism 类中的作用是什么？

主要发现

• 该稳定格罗莫夫-劳森猜想对所有基本群有限的自旋流形成立，因为 $\widetilde{KO}_n(B\pi) = \widetilde{\operatorname{Pos}}_n^{KO}(B\pi)$。
• 对于有限群 $\pi$，$\bigoplus_{H}KO_*(BH)$ 在 $KO_*(B\pi)$ 中的像具有有限指数，从而将一般情形约化为循环子群情形。
• $\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$ 到 $\widetilde{KO}_n(\mathbb{CP}^\infty)$ 的映射 $p_*$ 为零，且长正合列中的边界映射 $\partial$ 是满射，这意味着 $\widetilde{KO}_n(B\mathbb{Z}/k)$ 中的所有元素均可由具有正 scalar curvature 的流形表示。
• 通过表示理论和表示环的结构，将循环子群情形的证明推广至许多基本群无限的自旋流形，从而证明了稳定猜想。
• 当 $M$ 是可定向的且其万有覆盖是非自旋时，$M \times B$ 总是 admits 正 scalar curvature 度量，因为 $B$ 在 $\Omega_8^{SO}(pt)$ 中与 64 个 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times \mathbb{C}\mathbb{P}^2$ 的和同痕。
• 尽管非自旋流形不存在狄拉克算子障碍，但最小超曲面方法仍可能阻碍正 scalar curvature，如例子 $T^6 \# (\mathbb{C}\mathbb{P}^2 \times S^2)$ 所示。