[论文解读] A stochastic model of evolution

Hervé Guiol, Fábio P. Machado+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用 18

一句话总结

本文提出了一种随机演化模型，其中物种的适应度从 [0,1] 上的均匀分布中独立同分布地抽取，且在每次死亡事件中，适应度最低的物种总是被移除。当出生率超过死亡率时，一个尖锐的适应度阈值 $ f_c = (1-p)/p $ 会出现：适应度低于 $ f_c $ 的物种几乎必然灭绝，而适应度高于 $ f_c $ 的物种则在 $ (f_c, 1) $ 上呈现均匀分布，揭示了演化动力学中的相变现象。

ABSTRACT

We propose a stochastic model for evolution. Births and deaths of species occur with constant probabilities. Each new species is associated with a fitness sampled from the uniform distribution on [0,1]. Every time there is a death event then the type that is killed is the one with the smallest fitness. We show that there is a sharp phase transition when the birth probability is larger than the death probability. The set of species with fitness higher than a certain critical value approach an uniform distribution. On the other hand all the species with fitness less than the critical disappear after a finite (random) time.

研究动机与目标

• 使用具有适应度依赖选择的随机出生-死亡过程对演化动力学进行建模。
• 研究出生率和死亡率如何影响长期物种适应度分布。
• 分析临界适应度阈值 $ f_c $ 的出现，该阈值将短暂存在的物种与持久存在的物种区分开来。
• 建立在随机灭绝事件下，存活物种在 $ f_c $ 以上的渐近均匀性。

提出的方法

• 以概率 $ p $ 添加物种，以概率 $ q = 1-p $ 移除物种，每个物种的适应度独立同分布地从 Uniform[0,1] 中抽取。
• 在每次死亡事件中，适应度最低的物种被移除，强制执行“淘汰最弱者”规则。
• 该模型追踪适应度低于和高于阈值 $ f_c = (1-p)/p $ 的物种数量，其中 $ f_c $ 在 $ p > 1/2 $ 时有定义。
• 将集合 $ L_n $（适应度低于 $ f_c $ 的物种）的动力学建模为一个零常返的出生-死亡过程。
• 利用大偏差和与简单对称随机游走的耦合，对 $ L_n $ 为空的次数进行上界估计。
• 利用 Borel-Cantelli 引理和大数定律推导出几乎必然收敛结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有恒定出生率和死亡率的随机演化模型中，是否存在一个临界适应度阈值 $ f_c $？
• RQ2 在“淘汰最弱者”规则下，长期来看适应度低于 $ f_c $ 的物种会发生什么？
• RQ3 在 $ f_c $ 以上的存活物种的分布是否渐近均匀？
• RQ4 出生率 $ p $ 如何影响适应度阈值 $ f_c $ 的位置？
• RQ5 尽管存在随机灭绝事件，是否可以证明高适应度物种的渐近均匀性？

主要发现

• 适应度低于 $ f_c $ 的物种数量，记为 $ |L_n| $，是零常返的，且以几乎必然的频率无限次达到零。
• 适应度高于 $ f_c $ 的物种在 $ (f_c, 1) $ 上渐近均匀分布，且对满足 $ f_c < a < b < 1 $ 的区间，有 $ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}|R_n \cap (a,b)| = p(b-a) $ 几乎必然成立。
• 系统中无任何适应度低于 $ f_c $ 的物种的次数，记为 $ t_n $，对足够大的 $ n $，以几乎必然的上界 $ \frac{2}{pf_c}n^{1/2+\epsilon} $ 限制。
• 阈值 $ f_c = \frac{1-p}{p} $ 是临界的：适应度低于 $ f_c $ 的物种无法长期存活。
• 即使适应度抽样来自任意固定的连续分布，存活物种在 $ f_c $ 以上的渐近均匀性依然成立，极限为 $ p \cdot P(a < X < b) $。
• 该模型通过允许随机种群规模并证明高适应度物种的均匀性，推广了 Bak-Sneppen 模型，而这一性质在原始模型中仍未被证明。