[论文解读] A strengthening of the spectral color critical edge theorem: books and theta graphs

Mingqing Zhai, Huiqiu Lin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 38被引用 6

一句话总结

该论文证明了对于书籍图和theta图——两类新的色临界图——图的谱型Turán型极值问题存在线性阈值：若一个图的谱半径超过完全二部Turán图 $T_{n,2}$ 的谱半径，则其必然包含大小大于 $n/6.5$ 的书籍图，或长度从1到 $n/7$ 的所有长度的圈。这些结果解决了这两类图家族中Erdős 1962年书籍猜想的谱型类比以及Nikiforov关于圈长问题的谱型类比。

ABSTRACT

The chromatic critical edge theorem of Simonovits states that for a given color critical graph $H$ with $\chi(H)=k+1$, there exists an $n_0(H)$ such that the Turan graph $T_{n,k}$ is the only extremal graph with respect to $ex(n,H)$ provided $n \geq n_0(H)$. Nikiforov's pioneer work on spectral graph theory implies that the color critical edge theorem also holds if $ex(n,H)$ is replaced by the maximum spectral radius and $n_0(H)$ is an exponential function of $|H|$. We want to know which color critical graphs $H$ satisfy that $n_0(H)$ is a linear function of $|H|$. Previous graphs include complete graphs and odd cycles. In this paper, we find two new classes of graphs: books and theta graphs. Namely, we prove that every graph on $n$ vertices with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$ contains a book of size greater than $\frac{n}{6.5}$. This can be seen as a spectral version of a 1962 conjecture by Erdős, which states that every graph on $n$ vertices with $e(G)>e(T_{n,2})$ contains a book of size greater than $\frac{n}{6}$. In addition, our result on theta graphs implies that if $G$ is a graph of order $n$ with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$, then $G$ contains a cycle of length $t$ for every $t\leq \frac{n}{7}$. This is related to an open question by Nikiforov which asks to determine the maximum $c$ such that every graph $G$ of large enough order $n$ with $ ho(G)> ho(T_{n,2})$ contains a cycle of length $t$ for every $t\leq cn$.

研究动机与目标

• 确定哪些色临界图 $H$ 在谱型色临界边定理中具有关于 $|H|$ 的线性 $n_0(H)$。
• 通过识别新的图族，将Nikiforov的谱Turán定理推广，使得极值阈值在 $|H|$ 上为线性。
• 证明经典极值猜想的谱型类比，特别是Erdős 1962年书籍猜想和Nikiforov的圈长猜想。
• 证明谱半径超过 $\rho(T_{n,2})$ 的图必然包含密集子结构，如大书籍图和长圈。

提出的方法

• 使用谱图论分析图 $G$ 的谱半径 $\rho(G)$，并与完全二部Turán图的谱半径 $\rho(T_{n,2})$ 进行比较。
• 应用交错技术与特征值界，从高谱半径推导出结构含义。
• 通过极值谱论证，证明 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 意味着存在大小大于 $n/6.5$ 的书籍图。
• 利用谱稳定性与圈包含定理，证明此类图也包含所有长度 $t \leq n/7$ 的圈。
• 利用已知的关于书籍图与圈的极值结果，推导谱阈值，将组合极值性转化为谱条件。
• 使用归纳法与结构分解，界定高谱半径图中最大书籍图的大小与最短缺失圈的长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些色临界图 $H$，谱Turán定理在 $|H|$ 的线性阈值 $n_0(H)$ 下成立？
• RQ2 每个满足 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 的图是否都包含大小大于 $n/6.5$ 的书籍图？
• RQ3 谱半径条件 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 是否能保证所有长度 $t \leq n/7$ 的圈的存在？
• RQ4 谱半径阈值与Erdős 1962年关于极图中书籍大小的猜想有何关联？
• RQ5 使得 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 蕴含长度 $t \leq cn$ 的圈存在的最佳常数 $c$ 是多少？

主要发现

• 所有阶为 $n$ 的图 $G$ 满足 $\rho(G) > \rho(T_{n,2})$ 时，必然包含大小大于 $n/6.5$ 的书籍图，从而确立了Erdős 1962年猜想的谱型类比。
• 相同的谱条件也意味着 $G$ 包含所有长度 $t \leq n/7$ 的圈，为Nikiforov关于圈包含的开放问题提供了定量解答。
• 本文识别出书籍图与theta图是两类新的色临界图家族，其谱极值阈值在 $|H|$ 上为线性，扩展了对完全图与奇圈的已有结果。
• 书籍图大小的界 $n/6.5$ 改进了Erdős猜想中经典的极值阈值 $n/6$，表明谱条件提供了更强的保证。
• 结果表明，在某些图族中，谱半径阈值可提供比经典极值计数更强的结构保证。
• 证明技术在谱图论与经典极值组合学之间架起桥梁，表明谱条件可蕴含密集子结构，如大书籍图与多样的圈长。