[论文解读] A structural geometrical analysis of weakly infeasible SDPs
本文提出一种几何分解方法，用于分析弱不可行的半定规划（SDP），表明在至多 $ n-1 $ 个线性约束的零空间方向下，即可逼近半正定锥。关键贡献在于引入了超可行划分（hyper feasible partitions），提供了一种构造性框架，可生成任意接近锥体的序列，从而在BSS实数计算模型中实现弱不可行性的有限验证证书。
In this article, we present a geometric theoretical analysis of semidefinite feasibility problems (SDFPs). This is done by decomposing a SDFP into smaller problems, in a way that preserves most feasibility properties of the original problem. With this technique, we develop a detailed analysis of weakly infeasible SDFPs to understand clearly and systematically how weak infeasibility arises in semidefinite programming. In particular, we show that for a weakly infeasible problem over $n imes n$ matrices, at most $n-1$ directions are required to approach the positive semidefinite cone. We also present a discussion on feasibility certificates for SDFPs and related complexity results.
研究动机与目标
- 为半定规划中的弱不可行性提供几何与结构上的理解。
- 开发一种构造性方法，用于生成仿射可行集中逼近半正定锥的序列。
- 在BSS实数计算模型中，建立弱不可行性的有限可验证证书。
- 通过递归分解过程，区分四种可行性状态（强可行、弱可行、不可行）。
- 拓展对病态SDP及其在控制理论与多项式优化中影响的洞察。
提出的方法
- 通过正交投影将半定规划可行性问题（SDFP）分解为更小的子问题，同时保持可行性性质不变。
- 引入超可行划分的概念：在约束线性部分的零空间中递归构造的一组方向，每个方向本身不一定是半正定的，但其正线性组合可任意接近半正定锥。
- 采用一种称为FP（可行性划分）的程序来计算这些方向，起始于 $ K_n \cap L $ 中的非零元素。
- 使用第二种程序BP（基底程序），通过迭代应用FP来减小问题规模，并通过连续投影确定可行性状态。
- 应用Gordan定理与基于证书的验证，确保所有步骤在BSS模型中均可多项式时间验证。
- 采用递归约简策略，每轮迭代至少降低问题维度1，保证最多在 $ n $ 步内终止。
实验结果
研究问题
- RQ1弱不可行性在SDP中如何从几何角度产生？其问题的结构性特征是什么？
- RQ2在弱不可行的SDP中，逼近半正定锥所需的线性约束零空间中方向的最小数量是多少？
- RQ3能否在BSS实数计算模型中构造出弱不可行性的有限可验证证书？
- RQ4如何通过递归分解过程区分强可行性、弱可行性、弱不可行性与强不可行性？
- RQ5当问题为弱不可行时，超可行划分在构造逼近锥体的序列中起到何种作用？
主要发现
- 对于任意 $ n \times n $ 矩阵上的弱不可行SDFP，至多需要 $ n-1 $ 个线性约束零空间中的方向，即可在仿射可行集中生成逼近半正定锥的序列。
- 存在非零元素 $ a \in K_n \cap L $ 是生成此类序列的必要条件，但并非充分条件；一般情况下需要 $ n-1 $ 个方向。
- 超可行划分提供了一种构造性机制：划分中方向的正线性组合可被构造为任意接近半正定。
- BP程序通过递归减小问题规模并在每一步应用FP，能正确识别四种可行性状态——强不可行、弱不可行、可行。
- FP与BP中的所有计算在BSS模型中均可多项式时间验证，意味着判断SDFP可行性状态的问题属于 $ \NP \cap \coNP $。
- 该过程最多在 $ n $ 次迭代内终止，因为每步至少降低问题维度1。
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