[论文解读] A Study of Distributionally Robust Multistage Stochastic Optimization

Jianqiu Huang, Kezhuo Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Risk and Portfolio Optimization参考文献 49被引用 12

一句话总结

该论文提出了一种数据驱动的、分布鲁棒的多阶段随机优化框架，通过使用L∞-范数基于历史数据构建模糊集，最小化在该模糊集内 worst-case 期望成本。通过将嵌套的 minimax 结构重新表述为期望与条件风险价值（CVaR）的凸组合，模型变得可处理并能通过定制的 SDDP 算法求解，且在数据量增加时理论上收敛至风险中性 MSP。

ABSTRACT

In this paper, we focus on a data-driven risk-averse multistage stochastic programming (RMSP) model considering distributional robustness. We optimize the RMSP over the worst-case distribution within an ambiguity set of probability distributions constructed directly from historical data samples. The proposed RMSP is intractable due to the multistage nested minimax structure in its objective function, so we reformulate it into a deterministic equivalent that contains a series of convex combination of expectation and conditional value at risk (CVaR), which can be solved by a customized stochastic dual dynamic programming (SDDP) algorithm in this paper. As the size of collected data samples increases to infinity, we show the consistency of the RMSP with distributional robustness to the traditional multistage stochastic programming. In addition, to test the computational performance of our proposed model and algorithm, we conduct numerical experiments for a risk-averse hydrothermal scheduling problem, the results of which demonstrate the effectiveness of our RMSP framework.

研究动机与目标

• 解决传统多阶段随机规划（MSP）依赖已知概率分布的局限性，该假设在实践中往往不成立或存在模糊性。
• 基于历史数据样本，开发一种考虑分布模糊性的风险厌恶型多阶段随机优化（RMSP）模型。
• 通过用期望与 CVaR 的凸组合替代原始的不可解嵌套 minimax 结构，对分布鲁棒 RMSP 中的不可解嵌套 minimax 结构进行可处理的重构。
• 建立所提出的 RMSP 在历史数据样本数量增加时收敛至经典风险中性 MSP 的理论证明。
• 通过在不同真实分布下的水电热力调度问题上的数值实验，展示计算有效性。

提出的方法

• 利用历史数据样本构建概率分布的模糊集，采用 L∞-范数定义集合的边界。
• 将原始的分布鲁棒 RMSP 目标——在模糊集内最坏情况分布下最小化最大期望成本——重构为包含期望成本与 CVaR 的确定等价形式。
• 应用定制的随机对偶动态规划（SDDP）算法求解重构后的问题，利用凸组合结构的优势。
• 通过在重构框架下证明理论收敛性，确保 SDDP 算法的收敛性。
• 在 SDDP 迭代过程中，使用基于场景的采样和迭代边界，近似最优值的上下界。
• 通过在多种真实分布（正态、对数正态、指数、威布尔）下的水电热力调度问题上的数值实验，验证重构方法与算法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于仅有的历史数据，构建一个能够处理概率分布模糊性的分布鲁棒多阶段随机优化模型？
• RQ2 能否在不牺牲鲁棒性的前提下，将分布鲁棒 RMSP 的嵌套 minimax 结构重构为可处理的形式？
• RQ3 随着历史数据样本数量的增加，所提出的 RMSP 框架是否收敛至经典的风险中性 MSP？
• RQ4 在数据规模增加时，定制 SDDP 算法的性能在解间隙和迭代次数方面如何变化？
• RQ5 当数据规模增大时，风险厌恶解在多大程度上趋近于具有完全信息时的风险中性解？

主要发现

• 所提出的 RMSP 模型在历史数据样本数量增加时收敛至风险中性 MSP，对于指数分布，风险厌恶与风险中性目标之间的解差距从 N=10 时的 1.78 降至 N=9000 时的 0.08。
• SDDP 算法收敛迅速，在使用 9,000 个数据样本时，所有测试分布均在约 75–90 次迭代内收敛，且在约 35 步后对数成本图显示稳定收敛。
• 随着数据量增加，所需 SDDP 迭代次数显著减少：从 N=10 时的 300 步降至 N=5000 时的 85 步，表明模糊集缩小后收敛速度加快。
• 对于指数分布，风险厌恶（RA）与风险中性（PI）解之间的差距随数据量增加单调递减，从 N=10 时的 1.78 降至 N=9000 时的 0.08，证实了理论收敛性。
• 通过期望与 CVaR 的凸组合进行重构，成功消除了嵌套 minimax 结构，使得 SDDP 能够高效求解，同时保持了分布鲁棒性。
• 在水电热力调度问题上的数值实验表明，无论真实分布为对数正态、正态、指数或威布尔分布，模型均表现出一致性能，且随着数据量增加，风险厌恶解与风险中性基准高度一致。